ผลรวมของสแควร์ของสามจำนวนเต็มคือ 324 คุณจะหาจำนวนได้อย่างไร?

ตอบ:

ทางออกเดียวที่มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันคือ #(2, 8, 16)#

ชุดโซลูชั่นที่สมบูรณ์คือ:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

คำอธิบาย:

เราสามารถช่วยตัวเองได้โดยพิจารณาจากรูปสี่เหลี่ยม

ถ้า # n # เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว #n = 2k + 1 # สำหรับจำนวนเต็มบางส่วน # k # และ:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

ขอให้สังเกตว่านี่เป็นจำนวนเต็มคี่ของฟอร์ม # 4P + 1 #.

ดังนั้นหากคุณเพิ่มกำลังสองของจำนวนเต็มคี่สองค่าดังนั้นคุณจะได้รับจำนวนเต็มของฟอร์มเสมอ # 4k + 2 # สำหรับจำนวนเต็มบางส่วน # k #.

สังเกตได้ว่า #324 = 4*81# เป็นของแบบฟอร์ม # # 4kไม่ใช่ # 4k + 2 #.

ดังนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่าจำนวนเต็มสามตัวนั้นต้องเท่ากัน

มีวิธีแก้ปัญหาจำนวน จำกัด ในจำนวนเต็มตั้งแต่ # n ^ 2> = 0 # สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ # n #.

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เราสามารถเพิ่มตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มลบในตอนท้าย

สมมติว่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดคือ # n #จากนั้น:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

ดังนั้น:

# 12 <= n <= 18 #

ซึ่งส่งผลให้เกิดผลบวกกำลังสองของจำนวนเต็มสองจำนวน:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

สำหรับแต่ละค่าเหล่านี้ # k #สมมติว่าเป็นจำนวนเต็มที่เหลือมากที่สุดคือ # ม #. แล้ว:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

และเราต้องการ # k-M ^ 2 # จะเป็นตารางที่สมบูรณ์แบบ

ดังนั้นเราจึงหาวิธีแก้ไข:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

วิธีแก้ปัญหาเดียวที่มีจำนวนเต็มบวกแตกต่างกันคือ #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า # x, y # และ # Z # จะต้องเป็นเพราะการทำ # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # และ # Z = 2m_z # เรามี

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # หรือ

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # ซึ่งไร้สาระ

ดังนั้นเราจะพิจารณาจากนี้ไป

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

ตอนนี้พิจารณาตัวตน

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2L) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((L ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

กับ # ลิตร m, n # จำนวนเต็มบวกโดยพลการและการสร้าง

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

เรามี

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # หรือการแก้สำหรับ # n #

#n = 1/2 (21.00 ตารางเมตร (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

ดังนั้นเพื่อความเป็นไปได้ที่เราต้องการ

# 9 ^ 2-4 (L ^ 2 + m ^ 2) = P ^ 2 # หรือ

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

ดังนั้นสำหรับ # p = {} # 1,2,3,4,5,6,7,8 เราจะมี

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # ดังนั้นเป็นไปได้ # Q # เป็น

#q_f = {80,72,56,32} # เพราะ #q equiv 0 mod 4 #

ดังนั้นเราต้องค้นหา

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # หรือ

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

ที่นี่ในขณะที่เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายทางออกเดียวคือ

# l_1 = 2 m_1 = 4 # เพราะ

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = แถบ q_1 #

และดังนั้น # n_1 = {4,5} #

และแทนที่ 1 เราได้

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

ให้ทางออก

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #