พหุนามของระดับ 5, P (x) มีสัมประสิทธิ์นำ 1, มีรากหลายหลาก 2 ที่ x = 1 และ x = 0, และรูตของหลายหลาก 1 ที่ x = -3, คุณจะหาสูตรที่เป็นไปได้สำหรับ P อย่างไร (x)?

ตอบ:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

คำอธิบาย:

แต่ละรูตสอดคล้องกับปัจจัยเชิงเส้นดังนั้นเราจึงสามารถเขียน:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

พหุนามใด ๆ ที่มีเลขศูนย์เหล่านี้และอย่างน้อยหลายหลากเหล่านี้จะเป็นพหุคูณ (สเกลาร์หรือพหุนาม) ของสิ่งนี้ #P (x) #

เชิงอรรถ

พูดอย่างเคร่งครัดค่าของ # x # ผลลัพธ์นั้น #P (x) = 0 # เรียกว่า ราก ของ #P (x) = 0 # หรือ ศูนย์ ของ #P (x) #. ดังนั้นคำถามที่ควรพูดเกี่ยวกับ ศูนย์ ของ #P (x) # หรือเกี่ยวกับ ราก ของ #P (x) = 0 #.

พหุนามของระดับ 4, P (x) มีรูตของหลายหลาก 2 ที่ x = 3 และรากของหลายหลาก 1 ที่ x = 0 และ x = -3 ผ่านจุด (5,112) คุณจะหาสูตรสำหรับ P (x) ได้อย่างไร?

พหุนามของระดับ 4 จะมีรูปแบบรูต: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) แทนค่าในรากสำหรับรากแล้วใช้จุดเพื่อค้นหาค่า ของ k ทดแทนค่าสำหรับราก: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) ใช้จุด (5,112) เพื่อหาค่า k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 รากของพหุนามคือ: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

พหุนามของระดับ 5, P (x) มีสัมประสิทธิ์นำ 1, มีรากหลายหลาก 2 ที่ x = 1 และ x = 0, และรูตของหลายหลาก 1 ที่ x = -1 หาสูตรที่เป็นไปได้สำหรับ P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) เนื่องจากเรามีรูตของหลายหลาก 2 ที่ x = 1 เรารู้ว่า P (x) มีปัจจัย (x-1) ^ 2 เนื่องจากเรามีรูทของหลายหลาก 2 ที่ x = 0 เรารู้ว่า P (x) มีปัจจัย x ^ 2 เนื่องจากเรามีรูตของหลายหลาก 1 ที่ x = -1 เรารู้ว่า P (x) มีปัจจัย x + 1 เราได้รับว่า P (x) เป็นพหุนามของระดับ 5 และเราได้ระบุรากทั้งห้าและปัจจัยดังนั้นเราจึงสามารถเขียน P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 และเราสามารถเขียน P (x) = Axe ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) เรารู้ด้วยว่าค่าสัมประสิทธิ์นำคือ 1 => A = 1 ดังนั้น P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)

พหุนามของระดับ 5, P (x) มีสัมประสิทธิ์นำ 1, มีรากหลายหลาก 2 ที่ x = 3 และ x = 0, และรูตของหลายหลาก 1 ที่ x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "ให้" x = a "เป็นรากของพหุนามแล้ว" (xa) "เป็นปัจจัยของพหุนาม" "ถ้า" x = a "ของ multiplicity 2 แล้ว" (xa) ^ 2 "เป็นปัจจัยของพหุนาม" "ที่นี่" x = 0 "multiplicity 2" rArrx ^ 2 "เป็นปัจจัย" "ด้วย" x = 3 "multiplicity 2" rArr (x-3) ^ 2 "เป็นปัจจัย" "และ" x = -1 "หลายหลาก 1" rArr (x + 1) "เป็นปัจจัย" "พหุนามเป็นผลคูณของปัจจัย" P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) สี (สีขาว) (P (x)) = x ^ 2 (x ^ 2-6x + 9) (x + 1) สี (ขาว) (P ( x)) = (x