สมการของเส้นสัมผัสแทน f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x ที่ x = sqrtpi?

ตอบ:

สมการอยู่ที่ประมาณ:

#y = 3.34x - 0.27 #

คำอธิบาย:

ในการเริ่มต้นเราจำเป็นต้องตรวจสอบ # f (x) #เพื่อให้เรารู้ว่าความชันของ # f (x) # อยู่ที่จุดใด # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

ใช้กฎผลิตภัณฑ์:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

นี่คืออนุพันธ์มาตรฐาน:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

ดังนั้นอนุพันธ์ของเรากลายเป็น:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

การแทรกที่กำหนด # x # ค่าความชันที่ #sqrt (PI) # คือ:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)) #

นี่คือความชันของเส้นตรงจุดนี้ # x = sqrt (pi) #. จากนั้นเราสามารถกำหนดค่าตัดแกน y ได้โดยการตั้งค่า:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

สิ่งนี้ทำให้เรามีสมการที่ไม่ง่ายสำหรับสายของเรา:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

การแก้หา b เราจบด้วยสูตรที่ซับซ้อนน่ารำคาญ:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

ดังนั้นสายของเรากลายเป็น:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

หากเราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่ที่น่ารำคาญเหล่านี้ให้เท่ากับเราจะได้บรรทัดที่มีค่าประมาณ:

#y = 3.34x - 0.27 #