อินเวอร์สของ f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) คืออะไร?

ตอบ:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

คำอธิบาย:

สมมติว่าเรากำลังติดต่อกับ # log_3 # เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริงและการผกผันของ # 3 ^ x #แล้วโดเมนของ # f (x) # คือ # (3, oo) #เนื่องจากเราต้องการ #x> 3 # เพื่อที่ # log_3 (x-3) # กำหนดไว้

ปล่อย #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

แล้ว:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

ดังนั้น:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

ดังนั้น:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

ดังนั้น:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

อันที่จริงมันต้องเป็นรากที่สองที่เป็นค่าบวกตั้งแต่:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

ดังนั้น:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

ดังนั้น:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #