ขีด จำกัด คืออะไรเมื่อ t เข้าใกล้ 0 จาก (tan6t) / (sin2t)

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. เราตรวจสอบเรื่องนี้โดยใช้กฎของโรงพยาบาล.

การถอดความกฎของโรงพยาบาลระบุว่าเมื่อได้รับแบบฟอร์ม จำกัด #lim_ (t ก) f (t) / g (t) #ที่ไหน # f (ก) # และ #G (ก) # คือค่าที่ทำให้ขีด จำกัด ไม่แน่นอน (ส่วนใหญ่หากทั้งสองเป็น 0 หรือบางรูปแบบของ) ดังนั้นตราบใดที่ทั้งสองฟังก์ชั่นนั้นต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ที่และในบริเวณใกล้เคียง # ให้ # หนึ่งอาจระบุว่า

#lim_ (t ก) f (t) / g (t) = lim_ (t ก) (ฉ '(t)) / (g' (t)) #

หรือในคำพูดขีด จำกัด ของความฉลาดของสองฟังก์ชันนั้นเท่ากับขีด จำกัด ของผลหารของอนุพันธ์

ในตัวอย่างที่เรามีให้ #f (t) = tan (6t) # และ #G (t) = sin (2t) #. ฟังก์ชั่นเหล่านี้ต่อเนื่องและสร้างความแตกต่างได้ใกล้ # t = 0, tan (0) = 0 และ sin (0) = 0 #. ดังนั้นการเริ่มต้นของเรา # f (ก) / g (ก) = 0/0 =?. #

ดังนั้นเราควรใช้ประโยชน์จากกฎของโรงพยาบาล # d / dt tan (6t) = 6 วินาที ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. ดังนั้น…

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 วินาที ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 วินาที ^ 2 (0 วินาที))) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

ตอบ:

The Reqd Lim#=3#.

คำอธิบาย:

เราจะพบสิ่งนี้ จำกัด ใช้ดังต่อไปนี้ ผลลัพธ์มาตรฐาน:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

สังเกตว่า #tan (6T) / บาป (2t) = frac (สีน้ำตาล (6T) / (6T)) (บาป (2t) / (2t)) ##frac (6T) (2t) = 3frac (สีน้ำตาล (6T) / (6T)) (บาป (2t) / (2t)) #

ที่นี่ # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) แทน (6t) / (6t) = 1 #

ในทำนองเดียวกัน #lim_ (trarr0) บาป (2t) / (2t) = 1 #

ดังนั้น Reqd Lim#=3{1/1}=3#.

ขีด จำกัด เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จาก 1 / x คือเท่าใด

ไม่มีขีด จำกัด ตามธรรมดาแล้วไม่มีขีด จำกัด เนื่องจากข้อ จำกัด ด้านขวาและด้านซ้ายไม่เห็นด้วย: lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / x = + oo lim_ (x-> 0 ^ -) 1 / x = -oo กราฟ {1 / x [-10, 10, -5, 5]} ... และโดยไม่ตั้งใจ? คำอธิบายข้างต้นอาจเหมาะสมสำหรับการใช้งานปกติที่เราเพิ่มสองวัตถุ + oo และ -oo ในบรรทัดจริง แต่นั่นไม่ใช่ตัวเลือกเดียว บรรทัด projective จริง RR_oo เพิ่มจุดเดียวไปยัง RR ซึ่งมีป้ายกำกับว่า oo คุณสามารถคิดว่า RR_oo เป็นผลมาจากการพับเส้นจริงรอบ ๆ เป็นวงกลมและเพิ่มจุดที่ทั้งสองเข้าร่วม "จบ" หากเราพิจารณา f (x) = 1 / x เป็นฟังก์ชันจาก RR (หรือ RR_oo) ถึง RR_oo เราสามารถกำหนด 1/0 = oo ซึ่งเป็นขีด จำกัด ที่กำหนดไว้เ

ขีด จำกัด เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ใน 5 / ((x-1) ^ 2) คืออะไร

ฉันจะบอกว่าอู ในขีด จำกัด ของคุณคุณสามารถเข้าหา 1 จากซ้าย (x เล็กกว่า 1) หรือขวา (x ใหญ่กว่า 1) และตัวส่วนจะเป็นจำนวนน้อยมากและเป็นบวกเสมอ (เนื่องจากพลังของสอง) ให้: lim_ ( x-> 1) (5 / (x-1) ^ 2) = 5 / (+ 0.0000 .... 1) = OO

ขีด จำกัด เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จาก (1 + 2x) ^ cscx คืออะไร

คำตอบคือ e ^ 2 เหตุผลนั้นไม่ง่ายเลย ประการแรกคุณต้องใช้เคล็ดลับ: a = e ^ ln (a) ดังนั้น (1 + 2x) ^ (1 / sinx) = e ^ u โดยที่ u = ln ((1 + 2x) ^ (1 / sinx)) = ln (1 + 2x) / sinx ดังนั้นจึงเป็น e ^ x เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องเราอาจย้ายลิมิตได้: lim_ (x-> 0) e ^ u = e ^ (lim_ (x-> 0) u) ให้เราคำนวณลิมิตของ u เมื่อ x เข้าใกล้ 0 โดยไม่มีทฤษฎีใด ๆ การคำนวณจะเป็น ยาก ดังนั้นเราจึงใช้ทฤษฎีบทของโรงพยาบาลเป็นข้อ จำกัด ประเภท 0/0 lim_ (x-> 0) f (x) / g (x) = lim_ (x-> 0) ((f '(x)) / (g' (x))) ดังนั้น lim_ (x-> 0) ln (1 + 2x) / sinx = 2 / (2x + 1) / cos (x) = 2 / ((2x + 1) cosx) = 2 แล้วถ้าเรากลับไปที่ขีด จำกัด เดิ