ตอบ:
มันเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจริง
คำอธิบาย:
ให้เราพิสูจน์ก่อน #sqrt (21) # เป็นจำนวนจริงในความเป็นจริงรากที่สองของจำนวนจริงบวกทั้งหมดเป็นจริง ถ้า # x # เป็นจำนวนจริงจากนั้นเรากำหนดจำนวนบวก #sqrt (x) = "จีบ" {yinRR: Y ^ 2 <= x} #. ซึ่งหมายความว่าเราดูจำนวนจริงทั้งหมด # Y # ดังนั้น # Y ^ 2 <= x # และใช้จำนวนจริงน้อยที่สุดที่ใหญ่กว่าทั้งหมดนี้ # Y #supremum ที่เรียกว่า สำหรับตัวเลขลบพวกนี้ # Y #ไม่มีอยู่จริงเนื่องจากสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดการนำกำลังสองของจำนวนนี้ส่งผลให้เป็นจำนวนบวกและตัวเลขบวกทั้งหมดนั้นใหญ่กว่าจำนวนลบ
สำหรับตัวเลขที่เป็นบวกทั้งหมดนั้นมีอยู่เสมอ # Y # ที่เหมาะกับสภาพ # Y ^ 2 <= x #คือ #0#. นอกจากนี้ยังมีขอบเขตบนของตัวเลขเหล่านี้คือ # x + 1 #ตั้งแต่ถ้า # 0 <y = <1 #จากนั้น # x + 1> Y #ถ้า # y> = 1 #จากนั้น # y <y = ^ 2 <= x #ดังนั้น # x + 1> Y #. เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนที่ไม่มีขอบเขตที่ว่างเปล่าของจำนวนจริงมีจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันที่ทำหน้าที่เป็น supremum เนื่องจากความสมบูรณ์ที่เรียกว่า # RR #. ดังนั้นสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดที่เป็นบวก # x # มีจริง #sqrt (x) #. เราสามารถแสดงให้เห็นได้ในกรณีนี้ #sqrt (x) ^ 2 = x #แต่ถ้าคุณไม่ต้องการให้ฉันฉันจะไม่พิสูจน์ที่นี่ สุดท้ายเราทราบว่า #sqrt (x)> = 0 #, ตั้งแต่ #0# เป็นตัวเลขที่เหมาะกับสภาพตามที่ระบุไว้ก่อนหน้า
ตอนนี้เพื่อความไร้เหตุผลของ #sqrt (21) #. ถ้ามันไม่มีเหตุผล (มีเหตุผล) เราสามารถเขียนมันเป็น #sqrt (21) = a / b # กับ # A # และ # B # ตัวเลขทั้งหมดและ # A / B # ง่ายขึ้นมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ซึ่งหมายความว่า # A # และ # B # ไม่มีตัวหารทั่วไปยกเว้น #1#. ตอนนี้หมายความว่า # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.
ตอนนี้เราใช้สิ่งที่เรียกว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนธรรมชาติ นี่หมายความว่าเราสามารถเขียนจำนวนเต็มบวกแต่ละตัวเป็นผลิตภัณฑ์เฉพาะของจำนวนเฉพาะ สำหรับ #21# นี่คือ #3*7# และสำหรับ # A # และ # B # นี่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ # A = a_1 * * * * * * * * … a_n # และ # B = b_1 * * * * * * * * … b_m #. ความจริงที่ว่าตัวหารสามัญเท่านั้นของ # A # และ # B # คือ #1# เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่า # A # และ # B # ไม่มีช่วงเวลาในการแยกตัวประกอบจึงมี #AI# และ # b_j # ดังนั้น # Ä_i = b_j #. ซึ่งหมายความว่า # a ^ 2 # และ # ข ^ 2 # ยังไม่แบ่งปันช่วงเวลาใด ๆ ตั้งแต่ # a ^ 2 = a_1 * * * * * * * * a_1 … * * * * * a_n a_n # และ # ข ^ 2 = b_1 * * * * * * * * … b_1 b_m * b_m #ดังนั้นตัวหารสามัญของ # a ^ 2 # และ # ข ^ 2 # คือ #1#. ตั้งแต่ # a ^ 2 = 21b ^ 2 #หมายความว่า # ข ^ 2 = 1 #ดังนั้น # B = 1 #. ดังนั้น #sqrt (21) = a #. โปรดทราบว่านี่เป็นเพียงการสันนิษฐานว่า #sqrt (21) # มีเหตุผล
แน่นอนว่าตอนนี้เราสามารถวิ่งผ่านจำนวนบวกทั้งหมดที่เล็กกว่าได้ทั้งหมด #21# และตรวจสอบว่าการยกกำลังสองให้หรือไม่ #21#แต่นี่เป็นวิธีที่น่าเบื่อ หากต้องการทำในวิธีที่น่าสนใจยิ่งขึ้นเรากลับไปสู่ช่วงเวลาที่เหมาะสม เรารู้ว่า # a ^ 2 = a_1 * * * * * * * * a_1 … * * * * * a_n a_n # และ #21=3*7#ดังนั้น # 3 * 7 = a_1 * * * * * * * * a_1 … * * * * * a_n a_n #. ทางด้านซ้ายไพร์มทุกอันเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวทางด้านขวาไพร์มทุกอันเกิดขึ้นอย่างน้อยสองครั้งและจะมีจำนวนเท่า ๆ กันเสมอ (ถ้า # a_1 = a_n # มันจะเกิดขึ้นอย่างน้อยสี่ครั้ง) แต่ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วปัจจัยสำคัญเหล่านี้มีความเฉพาะตัวดังนั้นจึงไม่ถูกต้อง ดังนั้น # 21nea ^ 2 #ดังนั้น #anesqrt (21) #หมายถึงข้อสันนิษฐานก่อนหน้านี้ของเรา #sqrt (21) # การมีเหตุผลกลับกลายเป็นความผิดดังนั้น #sqrt (21) # ไม่มีเหตุผล
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์เดียวกันถือเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ # x # ด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะซึ่งหนึ่งในช่วงเวลานั้นมีจำนวนไม่เท่ากันเนื่องจากจตุรัสของจำนวนเต็มมีปัจจัยสำคัญทั้งหมดที่แปรผันตลอดเวลา จากนี้เราสรุปได้ว่าถ้า # x # เป็นจำนวนเต็มบวก (#x inNN #) มีปัจจัยสำคัญที่เกิดขึ้นเพียงไม่เท่าจำนวนครั้ง #sqrt (x) # จะไม่มีเหตุผล
ฉันรู้ว่าการพิสูจน์นี้อาจดูยาวไปหน่อย แต่ใช้แนวคิดที่สำคัญในแบบคณิตศาสตร์ อาจเป็นในหลักสูตรมัธยมใด ๆ เหตุผลเหล่านี้ไม่ได้รวมอยู่ด้วย (ฉันไม่แน่ใจ 100% ฉันไม่รู้หลักสูตรของแต่ละโรงเรียนมัธยมในโลก) แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่แท้จริงการพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เป็นหนึ่งใน กิจกรรมที่สำคัญที่สุดที่พวกเขาทำ ดังนั้นฉันอยากแสดงให้คุณเห็นว่าคณิตศาสตร์แบบไหนที่อยู่เบื้องหลังการใช้สแควร์รูทของสิ่งต่างๆ สิ่งที่คุณต้องการนำออกไปจากสิ่งนี้คือเรื่องจริง #sqrt (21) # เป็นจำนวนอตรรกยะ
