สองมุมของรูปสามเหลี่ยมมีมุมของ (3 pi) / 4 และ pi / 6 หากด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมีความยาวเท่ากับ 9 ขอบเขตของรูปสามเหลี่ยมที่ยาวที่สุดที่เป็นไปได้คืออะไร

ตอบ:

ขอบเขตที่ยาวที่สุดที่เป็นไปได้คือ # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

คำอธิบาย:

ด้วยมุมที่กำหนดสองมุมเราสามารถหามุมที่ 3 ได้โดยใช้แนวคิดที่ว่าผลรวมของมุมทั้งสามในรูปสามเหลี่ยมนั้นคือ # 180 ^ @ หรือ pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

ดังนั้นมุมที่สามคือ # ปี่ / 12 #

ตอนนี้สมมติว่า

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 และ / _C = pi / 12 #

ใช้ Sine Rule ที่เรามี

# (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

โดยที่ a, b และ c คือความยาวของด้านตรงข้ามกับ # / _ A, / _B และ / _C # ตามลำดับ

การใช้ชุดสมการข้างต้นเรามีดังต่อไปนี้:

#a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

#or a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) / (Sin (3pi) / 4)) * a #

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

ทีนี้เพื่อหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมที่ยาวที่สุดที่เป็นไปได้

#P = a + b + c #

สมมติ #a = 9 #, เรามี

#a = 9, b = 9 / sqrt2 และ c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

# หรือ P ~~ 18.66 #

สมมติ #b = 9 #, เรามี

#a = 9sqrt2, b = 9 และ c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#or P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

# หรือ P ~~ 26.39 #

สมมติ #c = 9 #, เรามี

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) และ c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

# หรือ P ~~ 50.98 #

ดังนั้นขอบเขตที่ยาวที่สุดที่เป็นไปได้ของสามเหลี่ยมที่กำหนดคือ # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #