Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = x / (x ^ 2 + 25) ในช่วง [0,9] คืออะไร?

ตอบ:

ค่าสูงสุดแน่นอน: #(5, 1/10)#

ขั้นต่ำแน่นอน: #(0, 0)#

คำอธิบาย:

ได้รับ: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "ตามช่วงเวลา" 0, 9 #

Extrema แอบโซลูทสามารถพบได้โดยการประเมินจุดสิ้นสุดและหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และเปรียบเทียบ # Y #-values

ประเมินจุดสิ้นสุด:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

ค้นหาขั้นต่ำสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุด โดยการตั้งค่า #f '(x) = 0 #.

ใช้กฎความฉลาดทาง: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

ปล่อย #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

ตั้งแต่ # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #เราต้องตั้งค่าเศษ = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

ค่าวิกฤต: # x = + - 5 #

เนื่องจากช่วงเวลาของเราคือ #0, 9#เราแค่ต้องดู #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

ใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกตั้งค่าช่วงเวลาเพื่อดูว่าจุดนี้เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์:

ช่วงเวลา: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

ค่าทดสอบ: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

ซึ่งหมายความว่า ที่ # f (5) # เรามีค่าสูงสุดสัมพัทธ์. นี่จะกลายเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วงเวลา #0, 9#ตั้งแต่ # Y #- มูลค่าของจุด #(5, 1/10) = (5, 0.1)# เป็นสูงสุด # Y #- มูลค่าในช่วงเวลา

** ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์เกิดขึ้นที่ระดับต่ำสุด # Y #- ค่าที่จุดสิ้นสุด #(0,0)**.#