คุณจะหาเศษส่วน (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

คุณพยายามแบ่งฟังก์ชัน rational เป็นผลรวมที่จะรวมเข้าด้วยกันได้ง่าย

คำอธิบาย:

ก่อนอื่น: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

การย่อยสลายเศษส่วนบางส่วนช่วยให้คุณทำเช่นนั้นได้

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # กับ # a, b ใน RR # ที่คุณต้องค้นหา

ในการค้นหาพวกมันคุณต้องคูณทั้งสองข้างด้วยพหุนามหนึ่งอันที่ด้านซ้ายของความเสมอภาค ฉันแสดงตัวอย่างให้คุณหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ที่จะพบในลักษณะเดียวกัน

พวกเราจะพบ # A #: เราต้องคูณทุกอย่างด้วย # x # เพื่อที่จะทำให้สัมประสิทธิ์อื่นหายไป

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

คุณทำสิ่งเดียวกันเพื่อหา # B # คุณคูณทุกอย่างด้วย # (x-1) # จากนั้นคุณเลือก #x = 1 #) และคุณพบว่า #b = 1 #.

ดังนั้น # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #ซึ่งหมายความว่า #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #