หาก 3x ^ 2-4x + 1 มีค่าศูนย์อัลฟ่าและเบต้าแล้วค่ากำลังสองใดที่มีค่าศูนย์เป็น alpha ^ 2 / เบต้าและเบต้า ^ 2 / อัลฟ่า

ตอบ:

หา อัลฟา # # และ # # เบต้า เป็นครั้งแรก

คำอธิบาย:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

ปัจจัยด้านซ้ายเพื่อให้เรามี

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปรากคือ #alpha = 1 # และ #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # และ #(1/3)^2/1= 1/9#.

พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหตุผลที่มีรากเหล่านี้คือ

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

หากเราต้องการค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคูณด้วย 9 เพื่อรับ:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

เราอาจคูณสิ่งนี้หากเราต้องการ:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

บันทึก: โดยทั่วไปเราอาจเขียน

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((อัลฟา ^ 3 + เบต้า ^ 3) / (ตัวอักษร)) x + ตัวอักษร #

ตอบ:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่า:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (อัลฟ่า + เบต้า) x + alpha beta #

และ:

# (x-alpha ^ 2 / เบต้า) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2- (อัลฟา ^ 2 / เบต้า + เบต้า ^ 2 / อัลฟ่า) x + (อัลฟา ^ 2 / เบต้า) (เบต้า ^ 2 / อัลฟา) #

#color (white) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2- (alpha ^ 3 + เบต้า ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

#color (white) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha เบต้า (alpha + beta)) / (alpha เบต้า) x + alpha beta #

ในตัวอย่างของเราหาร # 3x ^ 2-4x + 1 # โดย #3# เรามี:

# {(อัลฟา + เบต้า = 4/3), (อัลฟาเบต้า = 1/3):} #

ดังนั้น:

# ((อัลฟา + เบต้า) ^ 3-3alpha เบต้า (อัลฟ่า + เบต้า)) / (อัลฟาเบต้า) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

ดังนั้นพหุนามที่ต้องการสามารถเขียนได้:

# x ^ 2-28 / 9x + 3/1 #

คูณด้วย #9# เพื่อรับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

ตอบ:

โซลูชันที่เสนอด้านล่าง

คำอธิบาย:

# 3x²-4x + 1 #

บันทึก: # A # คืออัลฟ่า # B # เป็นเบต้า

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

ในการสร้างสมการเราจะหาผลรวมและผลผลิตของราก..

สำหรับผลรวม

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

แต่; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

ดังนั้น;

# ((A + B) ³-3AB (A + B)) / (AB) #

ดังนั้นเราจึงแทนที่ค่า..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / ยกเลิก 27_9) xx (ยกเลิก 3/1) #

#28/9#

ดังนั้นผลรวมคือ #28/9#

สำหรับผลิตภัณฑ์

# ((รฒร) / b) ((b²) / ก) #

# ((AB) ²) / (AB) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / ยกเลิก 9_3 xx ยกเลิก 3/1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

ดังนั้นผลิตภัณฑ์คือ #1/3#

# x²- (A + B) x + AB #

# x²- (28/9) x + 3/1 #

# 9x²-28x + 3 #

คูณด้วย #9#

หวังว่านี่จะช่วยได้!