จะรวม int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx ด้วยเศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

# 4LN (เอบีเอส (x + 2)) + 2ln (เอบีเอส (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

คำอธิบาย:

ดังนั้นก่อนอื่นเราเขียนสิ่งนี้:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

นอกจากนี้เรายังได้รับ:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

การใช้ # x = -2 # ให้เรา:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

A = # 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

จากนั้นใช้ # x = -1 # ให้เรา:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

กำลังใช้งาน # x = 0 # (สามารถใช้ค่าใด ๆ ที่ไม่ได้ใช้):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ = 2DX 4LN (เอบีเอส (x + 2)) + 2ln (เอบีเอส (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2DX #

ฉันปล่อยอันนี้ไว้เพื่อเราจะได้แยกมันออกมา

เรามี # - (x + 1) ^ - 2 #. เรารู้ว่าการใช้กฎลูกโซ่ทำให้เรา # d / DX f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) F (x) #. เราแค่มี # - (x + 1) ^ - 2 #ดังนั้น # f (x) # จะต้องเป็น # (x + 1) ^ - 1 #

# d / DX (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ = 2DX 4LN (เอบีเอส (x + 2)) + 2ln (เอบีเอส (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #