คุณจะแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันคี่ได้อย่างไร

สำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนด # F #อนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดย

#G (x) = lim_ (H-> 0) (f (x + H) -f (x)) / H #

ตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าถ้า # f (x) # เป็นฟังก์ชั่นแปลก ๆ (ในคำอื่น ๆ # -f (x) = f (-x) # เพื่อทุกสิ่ง # x #) จากนั้น #G (x) # เป็นฟังก์ชั่นคู่ (#G (-x) = กรัม (x) #).

ด้วยสิ่งนี้ในใจเรามาดูกันว่ามีอะไรบ้าง #G (-x) # คือ:

#G (-x) = lim_ (H-> 0) (f (-x + H) -f (-x)) / H #

ตั้งแต่ # f (-x) = - f (x) #ข้างต้นเท่ากับ

#G (-x) = lim_ (H-> 0) (- f (x-H) + f (x)) / H #

กำหนดตัวแปรใหม่ # k = -h #. เช่น # H-> 0 #ดังนั้น # K-> 0 #. ดังนั้นข้างต้นกลายเป็น

#G (-x) = lim_ (K-> 0) (f (x + k) -f (k)) / K = กรัม (x) #

ดังนั้นหาก # f (x) # เป็นฟังก์ชันแปลก ๆ อนุพันธ์ของมัน #G (x) # จะเป็นฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ

# "Q.E.D." #