คุณใช้การทดสอบเปรียบเทียบข้อ จำกัด สำหรับผลรวม 1 / (n + sqrt (n)) สำหรับ n = 1 ถึง n = oo อย่างไร

ตอบ:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverges สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยเปรียบเทียบกับ #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

คำอธิบาย:

เนื่องจากซีรี่ย์นี้เป็นผลบวกของจำนวนบวกเราจึงต้องหาซีรีย์คอนเวอร์เจนซ์ทั้งชุด #sum_ (n = 1) ^ (OO) a_n # ดังนั้น #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # และสรุปว่าซีรี่ส์ของเราเป็นคอนเวอร์เจนซ์หรือเราต้องการค้นหาซีรีย์ที่แตกต่างออกไป #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # และสรุปซีรีย์ของเราให้แตกต่างเช่นกัน

เราพูดต่อไปนี้:

สำหรับ

#N> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

ดังนั้น

# n + sqrt (n) <= 2n #.

ดังนั้น

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

เนื่องจากเป็นที่รู้จักกันดีว่า #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # ดังนั้นจึงแตกต่าง #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # แตกต่างเช่นกันเพราะถ้ามันมาบรรจบกันแล้ว # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # จะมาบรรจบกันเช่นกันและนี่ไม่ใช่กรณี

ตอนนี้ใช้การทดสอบเปรียบเทียบเราเห็นว่า #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # ลู่ออก

การทดสอบการเปรียบเทียบขีด จำกัด ใช้เวลาสองชุด # suma_n # และ # sumb_n # ที่ไหน #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

ถ้า #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # ที่ไหน #L> 0 # และ จำกัด จากนั้นทั้งสองบรรจบกันหรือทั้งสองแบบแตกต่าง

เราควรปล่อยให้ # a_n = 1 / (n + sqrtn) #ลำดับจากซีรีส์ที่กำหนด สิ่งที่ดี # b_n # ตัวเลือกเป็นฟังก์ชั่นการเอาชนะที่ # a_n # วิธีการเป็น # n # กลายเป็นใหญ่ ดังนั้นขอ # b_n = 1 / n #.

สังเกตได้ว่า # sumb_n # diverges (เป็นชุดฮาร์โมนิ)

ดังนั้นเราจะเห็นว่า #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. ดำเนินการต่อโดยหารผ่าน # n / n #สิ่งนี้กลายเป็น #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

ตั้งแต่ขีด จำกัด คือ #1#, ซึ่งเป็น #>0# และกำหนดไว้เราจะเห็นว่า # suma_n # และ # sumb_n # ทั้งสองจะแตกต่างหรือบรรจบกัน เนื่องจากเรารู้แล้วที่ # sumb_n # เราสามารถสรุปได้ว่า # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # diverges เช่นกัน