Arclength ของ (t-3, t + 4) บน t ใน [2,4] คืออะไร?

ตอบ:

# A = 2sqrt2 #

คำอธิบาย:

สูตรสำหรับความยาวส่วนโค้งแบบพารามิเตอร์คือ:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

เราเริ่มต้นด้วยการหาอนุพันธ์สองตัว:

# DX / dt = 1 # และ # DY / dt = 1 #

นี่ทำให้ความยาวส่วนโค้งคือ:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

ในความเป็นจริงเนื่องจากฟังก์ชันพาราเมตริกนั้นง่ายมาก (เป็นเส้นตรง) เราจึงไม่จำเป็นต้องมีสูตรอินทิกรัล หากเราพล็อตฟังก์ชั่นในกราฟเราก็สามารถใช้สูตรระยะทางปกติ:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

นี่ทำให้เราได้ผลลัพธ์เหมือนกับอินทิกรัลซึ่งแสดงว่าวิธีใดวิธีหนึ่งใช้ได้แม้ว่าในกรณีนี้ฉันขอแนะนำวิธีกราฟิกเพราะมันง่ายกว่า

Arclength ของ r = 4theta บน theta ใน [-pi / 4, pi] คืออะไร?

ประมาณ 27.879 นี่เป็นวิธีสรุป คอมพิวเตอร์ได้ทำการบดบางส่วนแล้ว ความยาวส่วนโค้ง s = int จุด s dt และจุด s = sqrt (vec v * vec v) ตอนนี้สำหรับ vec r = 4 theta hat r vec v = จุด r หมวก r + r จุด theta หมวก theta = 4 dot theta หมวก r + 4 theta dot theta hat theta = 4 dot theta (หมวก r + theta hat theta) ดังนั้นจุด s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) ความยาวส่วนโค้ง s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) โซลูชันคอมพิวเตอร์ ดู Youtube ที่เชื่อมโยงที่นี่สำหรับวิธีแก้ไขปัญหาคอมพิ

PH ของสารละลายซึ่งเป็นผลมาจากการผสม 20.0mL ของ 0.50M HF (aq) และ 50.0mL ของ 0.20M NaOH (aq) ที่ 25 centigrades คืออะไร? (Ka ของ HF = 7.2 x 10 ^ -4)

ดูด้านล่าง: คำเตือน! คำตอบยาว! เริ่มจากการหาจำนวนโมลของ NaOH ที่ใส่ลงในสารละลายโดยใช้สูตรความเข้มข้น: c = (n) / vc = conc ในโมล dm ^ -3 n = จำนวนโมล v = ปริมาตรเป็นลิตร (dm ^ 3) 50.0 ml = 0.05 dm ^ (3) = v 0.2 คูณ 0.05 = nn = 0.01 mol และหาจำนวนโมลของ HF: c = (n) / v 0.5 = (n) /0.02 n = 0.1 NaOH (aq) + HF (aq) -> NaF (aq) + H_2O (l) เราสร้าง NaF 0.1 mol ในสารละลาย 70 มลที่เกิดขึ้นหลังจากปฏิกิริยาสิ้นสุดลง ตอนนี้ NaF จะถูกแยกตัวออกจากสารละลายและฟลูออไรด์ไอออน F ^ (-) จะทำหน้าที่เป็นฐานที่อ่อนแอในการแก้ปัญหา (เราจะกลับมาที่นี่) ตอนนี้เป็นเวลาที่ดีในการตั้งค่าตาราง ICE เพื่อหาปริมาณของ OH ^ - ไอออนที่เกิดขึ้น แต่ก่อนอื่นเร

Arclength ของ (2t ^ 2-t, t ^ 4-t) บน t ใน [-4,1] คืออะไร?

สูตรสำหรับ arclength L คือ L = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt สมการพารามิเตอร์ของคุณคือ x = 2t ^ 2-t และ y = t ^ 4-t ดังนั้น dx / dt = 4t-1 และ dy / dt = 4t ^ 3-1 ด้วยช่วงเวลาของ [a, b] = [-4,1] ทำให้ L = int_-4 ^ 1sqrt ((4t-1) ^ 2 + (4t ^ 3-1) ^ 2) dt ภายใน ( 4 t - 1) ^ 2 + (4 t ^ 3 - 1) ^ 2 ลดความซับซ้อนเป็น 16 t ^ 6-8 t ^ 3 + 16 t ^ 2-8 t + 2 แต่นี่ไม่ได้ทำให้อินทิกรัลไม่ จำกัด ง่ายขึ้น และอินทิกรัลเชิงตัวเลขของคุณคือประมาณ 266.536