Arclength ของ r = 4theta บน theta ใน [-pi / 4, pi] คืออะไร?

ตอบ:

#approx 27.879 #

คำอธิบาย:

นี่คือวิธีการร่าง คอมพิวเตอร์ได้ทำการบดบางส่วนแล้ว

ความยาวส่วนโค้ง #s = int dot s dt #

และ #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

ตอนนี้สำหรับ #vec r = 4 theta hat r #

#vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta #

# = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta #

# = 4 dot theta (หมวก r + theta hat theta) #

ดังนั้น #dot s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

ความยาวส่วนโค้ง #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt #

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta #

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # โซลูชันคอมพิวเตอร์ ดูวิธีการเชื่อมโยง Youtube ที่นี่

#approx 27.879 # โซลูชันคอมพิวเตอร์

Arclength ของ (t-3, t + 4) บน t ใน [2,4] คืออะไร?

A = 2sqrt2 สูตรสำหรับความยาวส่วนโค้งของพารามิเตอร์คือ: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาอนุพันธ์สองรายการ: dx / dt = 1 และ dy / dt = 1 นี่ให้ความยาวส่วนโค้ง: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 ในความเป็นจริง เนื่องจากฟังก์ชันพาราเมตริกนั้นง่ายมาก (เป็นเส้นตรง) เราจึงไม่จำเป็นต้องใช้สูตรอินทิกรัล หากเราพล็อตฟังก์ชันในกราฟเราสามารถใช้สูตรระยะทางปกติ: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt ( 4 * 2) = 2sqrt2 นี่ให้ผลเหมือนกับอินทิกรัลซึ่งแสดงว่าวิธีใดวิธีหนึ่งใช้ได้แม้ว่าในกรณีนี้ฉันจะแนะ

PH ของสารละลายซึ่งเป็นผลมาจากการผสม 20.0mL ของ 0.50M HF (aq) และ 50.0mL ของ 0.20M NaOH (aq) ที่ 25 centigrades คืออะไร? (Ka ของ HF = 7.2 x 10 ^ -4)

ดูด้านล่าง: คำเตือน! คำตอบยาว! เริ่มจากการหาจำนวนโมลของ NaOH ที่ใส่ลงในสารละลายโดยใช้สูตรความเข้มข้น: c = (n) / vc = conc ในโมล dm ^ -3 n = จำนวนโมล v = ปริมาตรเป็นลิตร (dm ^ 3) 50.0 ml = 0.05 dm ^ (3) = v 0.2 คูณ 0.05 = nn = 0.01 mol และหาจำนวนโมลของ HF: c = (n) / v 0.5 = (n) /0.02 n = 0.1 NaOH (aq) + HF (aq) -> NaF (aq) + H_2O (l) เราสร้าง NaF 0.1 mol ในสารละลาย 70 มลที่เกิดขึ้นหลังจากปฏิกิริยาสิ้นสุดลง ตอนนี้ NaF จะถูกแยกตัวออกจากสารละลายและฟลูออไรด์ไอออน F ^ (-) จะทำหน้าที่เป็นฐานที่อ่อนแอในการแก้ปัญหา (เราจะกลับมาที่นี่) ตอนนี้เป็นเวลาที่ดีในการตั้งค่าตาราง ICE เพื่อหาปริมาณของ OH ^ - ไอออนที่เกิดขึ้น แต่ก่อนอื่นเร

ถ้า sin theta + cos theta = p, sin ^ 2 theta + cos ^ 4theta ในแง่ของ p คืออะไร?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 ดังนั้น sinthetacostheta ดังนั้น = (p ^ 2-1) / 2 ตอนนี้ sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta และวางทั้งหมดเข้าด้วยกัน sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2