โดยไม่ต้องใช้ฟังก์ชั่นแก้ปัญหาของเครื่องคิดเลขฉันจะแก้สมการได้อย่างไร: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

ตอบ:

เลขศูนย์คือ # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) I #

คำอธิบาย:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

เราจะบอกว่า # (x-5) # เป็นปัจจัยดังนั้นแยกออก:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

เราจะบอกว่า # (x + 2) # ยังเป็นปัจจัยด้วยดังนั้นโปรดแยก:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

การเลือกปฏิบัติของปัจจัยกำลังสองที่เหลืออยู่นั้นเป็นค่าลบ แต่เรายังสามารถใช้สูตรสมการกำลังสองเพื่อค้นหารากที่ซับซ้อนได้:

# x ^ 2-2x + 3 # อยู่ในรูปแบบ # ขวาน ^ 2 + BX + C # กับ # A = 1 #, # B = -2 # และ # c = 3 #.

รากจะได้รับจากสูตรสมการกำลังสอง:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) I #

ให้เราลองโดยไม่รู้ตัว # (x-5) # และ # (x + 2) # เป็นปัจจัย

เทอมคงที่เท่ากับผลคูณของราก

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

สัมประสิทธิ์นี้เป็นค่าจำนวนเต็มที่มีปัจจัย #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # ลองใช้ค่าเหล่านั้นเราจะเห็นว่า

#p (-2) = p (5) = 0 # ได้รับสองราก

เราสามารถแสดงพหุนามเป็น

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

การคำนวณทางด้านขวาและเปรียบเทียบทั้งสองด้านที่เราได้รับ

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

การแก้เพื่อ # (A, B) # เราได้รับ # A = -2, B = 3 #

การประเมินรากของ # x ^ 2-2x + 3 = 0 # เราได้รับ # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #