คุณเขียนพหุนามด้วยฟังก์ชันระดับต่ำสุดในรูปแบบมาตรฐานด้วยสัมประสิทธิ์จริงที่ศูนย์ประกอบด้วย -3,4 และ 2-i อย่างไร

ตอบ:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # กับ #aq ใน RR #.

คำอธิบาย:

ปล่อย # P # เป็นพหุนามที่คุณกำลังพูดถึง ผมถือว่า #P! = 0 # หรือมันจะเล็กน้อย

P มีสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงดังนั้น #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. หมายความว่ามีรูตอีกอันสำหรับ P #bar (2-i) = 2 + i #ดังนั้นแบบฟอร์มนี้สำหรับ # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # กับ #a_j ใน NN #, #Q ใน RR X # และ #a ใน RR # เพราะเราต้องการ # P # มีค่าสัมประสิทธิ์ที่แท้จริง

เราต้องการระดับของ # P # ที่จะเล็กที่สุด ถ้า #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # แล้วก็ #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sum (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # ดังนั้น #deg (Q)> = 0 #. ถ้าเราต้องการ # P # เพื่อให้ได้ระดับที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ #deg (Q) = 0 # (# Q # เป็นเพียงตัวเลขจริง # Q #) ดังนั้น #deg (P) = deg (R) # และที่นี่เราสามารถพูดได้ว่า #P = R #. #deg (P) # จะเล็กที่สุดถ้าทำได้ #a_j = 0 #. ดังนั้น #deg (P) = 4 #.

ดังนั้นสำหรับตอนนี้ #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. มาพัฒนากันเถอะ

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) ใน RR X #. ดังนั้นการแสดงออกนี้ดีที่สุด # P # เราสามารถพบกับเงื่อนไขเหล่านั้น!