คุณแบ่ง (-i-5) / (i -6) ในรูปตรีโกณมิติได้อย่างไร

# (- ฉัน-5) / (i-6) #

ขอผมจัดเรียงใหม่นะ

# (- ฉัน-5) / (i-6) = (- 5-i) / (- 6 + i) = (- (5 + i)) / (- 6 + i) = (5 + i) / (6-i) #

ก่อนอื่นเราต้องแปลงตัวเลขทั้งสองนี้เป็นรูปแบบตรีโกณมิติ

ถ้า # (A + IB) # เป็นจำนวนเชิงซ้อน #ยู# คือขนาดและ อัลฟา # # เป็นมุมของมันแล้ว # (A + IB) # ในรูปตรีโกณมิติเขียนเป็น #u (cosalpha + isinalpha) #.

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน # (A + IB) # ได้รับจาก#sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) # และมุมของมันถูกกำหนดโดย # สีน้ำตาล ^ -1 (/ b) #

ปล่อย # R # เป็นขนาดของ # (5 + i) # และ # theta # เป็นมุมของมัน

ขนาดของ # (5 + i) = sqrt (5 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (25 + 1) = sqrt26 r = #

มุมมองของ # (5 + i) = ตาล ^ -1 (1/5) = theta #

#implies (5 + i) = r (Costheta + isintheta) #

ปล่อย # s # เป็นขนาดของ # (6-i) # และ # # พี เป็นมุมของมัน

ขนาดของ # (6-i) = sqrt (6 ^ 2 + (- 1) ^ 2) = sqrt (36 + 1) = sqrt37 = s #

มุมมองของ # (6-i) = ตาล ^ -1 ((- 1) / 6) = พี #

#implies (6-i) = s (Cosphi + isinphi) #

ตอนนี้

# (5 + i) / (6-i) #

# = (R (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = R / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = R / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi ฉัน ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi ฉัน ^ ^ 2sin 2phi) #

# = R / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = R / s * (cos (ทีพี) + isin (ทีพี)) / (1) #

# = R / s (cos (ทีพี) + isin (ทีพี)) #

ที่นี่เรามีทุกสิ่งที่นำเสนอ แต่ถ้าที่นี่แทนที่ค่าโดยตรงคำจะน่าเบื่อสำหรับการค้นหา #theta -phi # ดังนั้นก่อนอื่นเรามาหา # ทีพี #.

# ทีพี = สีน้ำตาล ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) #

เรารู้ว่า:

# สีน้ำตาล ^ -1 (ก) -tan ^ -1 (ข) = สีน้ำตาล ^ -1 ((AB) / (1 + AB)) #

#implies tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) = tan ^ -1 ((1/5) - (- 1/6)) / (1+ (1 / 5) ((- 1) / 6))) #

# = สีน้ำตาล ^ -1 ((6 + 5) / (30-1)) = สีน้ำตาล ^ -1 (11/29) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (11/29) #

# R / s (cos (ทีพี) + isin (ทีพี)) #

# = sqrt26 / sqrt37 (cos (สีน้ำตาล ^ -1 (11/29)) + isin (สีน้ำตาล ^ -1 (11/29))) #

# = sqrt (26/37) (cos (สีน้ำตาล ^ -1 (11/29)) + isin (สีน้ำตาล ^ -1 (11/29))) #

นี่คือคำตอบสุดท้ายของคุณ

คุณสามารถทำได้ด้วยวิธีอื่น

โดยการหารตัวเลขที่ซับซ้อนแล้วเปลี่ยนเป็นรูปแบบตรีโกณมิติซึ่งง่ายกว่านี้มาก

ก่อนอื่นให้ลดจำนวนที่กำหนดให้ง่ายขึ้น

# (5 + i) / (6-i) #.

ทวีคูณและหารด้วยคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในตัวหาร i.e # 6 + i #.

# (5 + i) / (6i) = ((5 + i) (6 + i)) / ((6i) (6 + i)) = (30 + + 5I 6i + i ^ 2) / (6 ^ 2-I ^ 2) #

# = (30 + 11i-1) / (36 - (- 1)) = (29 + 11i) / (36 + 1) = (29 + 11i) / 37 = 29/37 + (11i) / 37 #

# (5 + i) / (6-i) = 29/37 + (11i) / 37 #

ปล่อย # เสื้อ # เป็นขนาดของ # (29/37 + (11i) / 37) # และ # # เบต้า เป็นมุมของมัน

ขนาดของ # (29/37 + (11i) / 37) = sqrt ((29/37) ^ 2 + (11/37) ^ 2) = sqrt (841/1369 + 121/1369) = sqrt (962/1369) = sqrt (26/37) = T #

มุมมองของ # (29/37 + (11i) / 37) = ตาล ^ -1 ((11/37) / (29/37)) = สีน้ำตาล ^ -1 (11/29) = เบต้า #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = sqrt (26/37) (Cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29))).