ฉันเข้าใจแล้ว
มีกฎกลศาสตร์ควอนตัมมากมายที่เสียในคำถามนี้ …
# phi_0 # เนื่องจากเราใช้โซลูชั่นที่มีศักยภาพอย่างไม่สิ้นสุดจึงหายไปโดยอัตโนมัติ …#n = 0 # ดังนั้น#sin (0) = 0 # .
และสำหรับบริบทเราก็ปล่อยให้
#phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) # …
-
มันคือ เป็นไปไม่ได้ เพื่อเขียนคำตอบในแง่ของ
# E_0 # เพราะ#n = 0 # ไม่มีอยู่สำหรับศักยภาพที่ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าคุณไม่ต้องการอนุภาค หายไป ฉันต้องเขียนมันในแง่ของ# E_n # ,#n = 1, 2, 3,.. # … -
พลังงานเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่นั่นคือ
# (d << E >>) / (dt) = 0 # …
ดังนั้นตอนนี้ …
#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #
ค่าความคาดหวังเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ดังนั้นเราจึงไม่สนใจเวลาใด
# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # สำหรับบางคน#n = 1, 2, 3,.. #
ในความเป็นจริงเรารู้อยู่แล้วว่ามันควรจะเป็นเช่นไรเนื่องจากมิลโตเนียนสำหรับหลุมที่ไม่มีที่สิ้นสุดในมิติเดียวคือเวลาอิสระ …
#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #
# (delhatH) / (delt) = 0 #
และ
#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) # ที่เรามีให้
#Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) # . ปัจจัยเฟสทั้งหมดยกเลิกไปอีกครั้งและเราทราบว่าเงื่อนไขนอกแนวทแยงมุมไปที่ศูนย์เนื่องจากความตั้งฉากของ# phi_n # .
ตัวหารเป็นบรรทัดฐานของ
#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 # .
ดังนั้น,
# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ยกเลิก (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) ยกเลิก (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ยกเลิก (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) ยกเลิก (จ ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) DX / (5 // 6) #
ใช้อนุพันธ์:
# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) บาป ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 บาป ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 บาป ((2pix) / L) DX #
ค่าคงที่ลอยออกมา:
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) บาป ((pix) / L) บาป ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #
และอินทิกรัลนี้เป็นที่รู้จักด้วยเหตุผลทางกายภาพที่ต้องอยู่กึ่งกลางระหว่าง
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #
# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #
# = color (blue) (14/5 E_1) #
ตอบ:
คำอธิบาย:
สถานะนิ่งแต่ละสถานะสอดคล้องกับค่าลักษณะพลังงาน
ดังนั้นการเริ่มต้นฟังก์ชั่นคลื่น
วิวัฒนาการในเวลา
ดังนั้นค่าคาดหวังพลังงานในเวลา
ที่ซึ่งเราได้ใช้ความจริงที่ว่า
สิ่งนี้ยังคงให้เก้าเทอม อย่างไรก็ตามการคำนวณขั้นสุดท้ายนั้นง่ายขึ้นมากเนื่องจากความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นการใช้พลังงานไฟฟ้ามีการปรับให้เป็นมาตรฐาน นั่นคือ พวกเขาเชื่อฟัง
ซึ่งหมายความว่าจากอินทิกรัลทั้งเก้ามีชีวิตรอดแค่สามคนเท่านั้น
การใช้ผลลัพธ์มาตรฐานนั้น
บันทึก:
- ในขณะที่ฟังก์ชั่น eigenfunctions พลังงานวิวัฒนาการในเวลาโดยการเลือกปัจจัยเฟสฟังก์ชั่นคลื่นโดยรวม ไม่ แตกต่างจากครั้งแรกโดยเพียงแค่ปัจจัยเฟส - นี่คือเหตุผลที่มันไม่ได้เป็นรัฐนิ่ง
- อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นอย่างไร
# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} ครั้ง int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx # และดูเหมือนว่าพวกเขาจะขึ้นอยู่กับเวลา อย่างไรก็ตามอินทิเกรตเดียวที่อยู่รอดนั้นเป็นของ
# i = j # - และสิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่การพึ่งพาเวลาถูกยกเลิกอย่างแม่นยำ - ผลสุดท้ายสอดคล้องกับความจริงที่ว่า
#hat {H} # ได้รับการอนุรักษ์ - แม้ว่ารัฐจะไม่ใช่รัฐที่อยู่กับที่ - ค่าความคาดหวังด้านพลังงานนั้นไม่ขึ้นกับเวลา - ฟังก์ชั่นคลื่นต้นฉบับได้รับการปรับมาตรฐานแล้ว
# (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # และการทำให้เป็นมาตรฐานนี้ถูกรักษาไว้ในวิวัฒนาการเวลา - เราสามารถลดงานจำนวนมากได้ถ้าเราใช้ผลเชิงกลควอนตัมมาตรฐาน - ถ้าฟังก์ชั่นคลื่นถูกขยายในรูปแบบ
#psi = sum_n c_n phi_n # ที่ไหน# phi_n # เป็นลักษณะเฉพาะของผู้ประกอบการชาว Hermitian#hat {A} # ,#hat {A} phi_n = lambda_n phi_n # จากนั้น# <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n # แน่นอนว่ารัฐได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างถูกต้อง