Extrema ของ f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 ในช่วง [-1,3] คืออะไร?

ตอบ:

เรามีจุดต่ำสุดที่ # x = 0 # และเป็นจุดเปลี่ยนที่ # x = 3 #

คำอธิบาย:

Maxima เป็นจุดที่สูงซึ่งฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นแล้วตกอีกครั้ง เช่นความชันของแทนเจนต์หรือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้นจะเป็นศูนย์

นอกจากนี้เมื่อแทนเจนต์ทางด้านซ้ายของแม็กซิม่าจะเอียงขึ้นไปจากนั้นแฟบและจากนั้นลาดลงด้านล่างความชันของแทนเจนต์จะลดลงอย่างต่อเนื่องเช่นค่าของอนุพันธ์อันดับสองจะเป็นค่าลบ

ในอีกด้านหนึ่งเป็นจุดต่ำสุดที่ฟังก์ชั่นตกแล้วเพิ่มขึ้นอีกครั้ง เช่นแทนเจนต์หรือค่าของอนุพันธ์ที่ minima ก็จะเป็นศูนย์

แต่เนื่องจากแทนเจนต์ทางด้านซ้ายของ minima จะเอียงลงจากนั้นแฟบและจากนั้นขึ้นไปทางลาดชันของ tangent จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องหรือมูลค่าของอนุพันธ์อันดับสองจะเป็นบวก

หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์เรามีจุด

อย่างไรก็ตาม maxima และ minima เหล่านี้อาจเป็น universal i.e. maxima หรือ minima สำหรับช่วงทั้งหมดหรืออาจเป็นภาษาท้องถิ่นเช่น maxima หรือ minima ในช่วงที่ จำกัด

ให้เราดูสิ่งนี้โดยอ้างอิงจากฟังก์ชันที่อธิบายไว้ในคำถามและสำหรับสิ่งนี้ให้เราแยกความแตกต่างก่อน # f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

อนุพันธ์อันดับแรกจะได้รับจาก # f (x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

นี่จะเป็นศูนย์สำหรับ # x ^ 2-9 = 0 # หรือ # x + = - 3 # หรือ #0#. ของเหล่านี้เท่านั้น #{0,3}# อยู่ในช่วง #-1,3}#.

ดังนั้น maxima หรือ minima เกิดขึ้นที่จุด # x = 0 # และ # x = 3 #.

เพื่อหาว่ามันคือ maxima หรือ minima ให้เราดูอนุพันธ์ที่สองซึ่งก็คือ # f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # และด้วยเหตุนี้ในขณะที่

ที่ # x = 0 #, # f '' (x) = 486 # และเป็นบวก

ที่ # x = 3 #, # f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # และเป็นจุดที่ทำให้เกิดการผัน

ดังนั้นเรามี minima ท้องถิ่นที่ # x = 0 # และเป็นจุดเปลี่ยนที่ # x = 3 #

. กราฟ {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

ตอบ:

ขั้นต่ำที่แน่นอนคือ #(-9)^3+10# (ซึ่งเกิดขึ้นที่ #0#) จำนวนสูงสุดที่แน่นอนในช่วงเวลานั้นคือ #10#, (ซึ่งเกิดขึ้นที่ #3#)

คำอธิบาย:

คำถามไม่ได้ระบุว่าเราต้องหาญาติหรือ extrema แบบสัมบูรณ์ดังนั้นเราจะพบทั้งคู่

Extrema ที่สัมพันธ์กันสามารถเกิดขึ้นได้ที่หมายเลขวิกฤติเท่านั้น ตัวเลขสำคัญคือค่าของ # x # ที่อยู่ในโดเมนของ # F # และที่ใดก็ได้ # f (x) = 0 # หรือ #f '(x) ไม่มีอยู่ (ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์)

Extrema แอบโซลูทในช่วงเวลาปิดสามารถเกิดขึ้นได้ที่จำนวนที่สำคัญในช่วงเวลาหรือที่จุดของช่วงเวลา

เพราะฟังก์ชั่นถามเกี่ยวกับที่นี่ต่อเนื่อง #-1,3#ทฤษฎีค่าสุดขีดทำให้เรามั่นใจได้ว่า # F # ต้องมีทั้งค่าต่ำสุดที่แน่นอนและค่าสูงสุดที่แน่นอนในช่วงเวลา

ตัวเลขที่สำคัญและ extrema สัมพัทธ์

สำหรับ #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #เราพบว่า #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

เห็นได้ชัดว่า # ฉ '# ไม่เคยล้มเหลวดังนั้นจึงไม่มีหมายเลขที่สำคัญของประเภทนั้น

การแก้ # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # ผลผลิตโซลูชั่น #-3#, #0#และ #3#.

#-3# ไม่ได้อยู่ในโดเมนของปัญหานี้ #-1,3# ดังนั้นเราต้องตรวจสอบเท่านั้น # f (0) # และ # f (3) #

สำหรับ #x <0 #, เรามี #f '(x) <0 # และ

สำหรับ #x> 0 #, เรามี #f '(x)> 0 #.

ดังนั้นโดยการทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรก # f (0) # เป็นขั้นต่ำสัมพัทธ์ #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

จำนวนวิกฤติอื่น ๆ ในช่วงเวลาคือ #3#. หากเราเพิกเฉยต่อข้อ จำกัด โดเมนเราจะพบสิ่งนั้น #f '(x)> 0 # เพื่อทุกสิ่ง # x # ใกล้ #3#. ดังนั้นฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาเปิดขนาดเล็กที่มี #3#. ดังนั้นถ้าเราหยุด ที่ #3# เราได้ทำคะแนนสูงสุดแล้ว ในโดเมน.

นั่นคือ ไม่ ข้อตกลงสากลว่าจะบอกว่า # f (3) = 10 # เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์สำหรับฟังก์ชันนี้ #-1,3#.

บางคนต้องการคุณค่า ทั้งสองด้าน จะน้อยกว่าคนอื่น ๆ ต้องการค่าในโดเมนทั้งสองด้านให้น้อยลง

Absolute Extrema

สถานการณ์สำหรับ extrema แบบสัมบูรณ์ในช่วงเวลาปิด # a, b # ง่ายกว่ามาก

ค้นหาตัวเลขสำคัญในช่วงเวลาปิด โทร # c_1, c_2 # และอื่น ๆ

คำนวณค่า #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # และอื่น ๆ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือสัมบูรณ์ maixmum ในช่วงเวลาและค่าน้อยที่สุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ในช่วงเวลา

ในคำถามนี้เราคำนวณ #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # และ #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

ขั้นต่ำคือ #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # และ

สูงสุดคือ #f (-3) = 10 #.