ฉันจะแก้ไข 2sinx = cos (x / 3) ได้อย่างไร

ตอบ:

โซลูชันโดยประมาณของเราคือ:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ หรือ -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

สำหรับจำนวนเต็ม # k #.

คำอธิบาย:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

นี่เป็นสิ่งที่ค่อนข้างยาก

เริ่มจากการตั้งค่ากัน # การ y = x / 3 # ดังนั้น # x = 3y # และทดแทน จากนั้นเราสามารถใช้สูตรมุมสามทาง:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

ลองยกกำลังสองกันเพื่อเราเขียนทุกอย่างในรูปของ # sin ^ 2 y #. สิ่งนี้จะทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

ปล่อย # s = sin ^ 2 y #. Squines sines ถูกเรียกว่า การแพร่กระจาย ในตรีโกณมิติเหตุผล

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

นั่นคือสมการลูกบาศก์ที่มีรากแท้จริงสามตัว, ผู้สมัครสำหรับไซน์กำลังสองของ # 3x. # เราสามารถใช้สูตรลูกบาศก์ได้ แต่นั่นจะนำไปสู่รากลูกบาศก์บางส่วนของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นประโยชน์โดยเฉพาะ ลองใช้วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข:

# s 0.66035หรือs 0.029196หรือs 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

มาทำงานกันเป็นองศา โซลูชันโดยประมาณที่มีศักยภาพของเราคือ:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) ประมาณ pm 163.058 ^ circ หรือ pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) ประมาณ pm 29.5149 ^ circ หรือ pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) ประมาณ pm 192.573 ^ circ หรือ pm 732.573 ^ circ #

มาดูกันว่ามีผลงานใดบ้าง ปล่อย #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) ประมาณ 0.00001 quad # นั่นเป็นทางออก

#e (-163.058 ^ circ) ประมาณ -1.17 quad # ไม่ใช่ทางออก

ชัดเจนที่สุดแห่งหนึ่ง # PM # คู่จะทำงาน

อีกสิบที่จะไป

#e (703.058 ^ circ) ประมาณ 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # Nope

#e (29.5149 ^ circ) ประมาณ 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Nope

#e (569.51 ^ circ) ประมาณ 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # Nope

#e (192.573 ^ circ) ประมาณ -.87 quad # Nope

#e (-192.573 ^ circ) ประมาณ 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) ประมาณ -.87 quad # Nope

#e (-732.573 ^ circ) ประมาณ 0.00001 quad sqrt #

Arcsin มาพร้อมกับ # + 360 ^ circ k #และปัจจัยสามอย่างทำให้มัน # 1080 ^ circ k. #

ตกลงวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของเราคือ:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # สำหรับจำนวนเต็ม # k #.