สแควร์รูทของ 90 คืออะไร?

ตอบ:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

คำอธิบาย:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # เป็นจำนวนอตรรกยะระหว่าง #sqrt (81) = 9 # และ #sqrt (100) = 10 #.

ในความเป็นจริงตั้งแต่ #90 = 9 * 10# เป็นของแบบฟอร์ม #N (n + 1) # มันมีการขยายส่วนต่อเนื่องปกติของแบบฟอร์ม # n; บาร์ (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; บาร์ (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+))..)))))) #

วิธีหนึ่งที่สนุกในการค้นหาการหาเหตุผลโดยใช้ลำดับเลขจำนวนเต็มที่กำหนดโดยการเกิดซ้ำเชิงเส้น

พิจารณาสมการกำลังสองด้วยเลขศูนย์ # 19 + 2sqrt (90) # และ # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (white) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (white) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (white) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

ดังนั้น:

# x ^ 2 = 38x-1 #

ใช้สิ่งนี้เพื่อรับลำดับ:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

ข้อกำหนดสองสามข้อแรกของลำดับนี้คือ:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

อัตราส่วนระหว่างคำต่อเนื่องจะมีแนวโน้มที่จะ # 19 + 2sqrt (90) #

ดังนั้น:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #