คุณจะหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุด 10 (2/3) ^ n เมื่อ n = 2 ได้อย่างไร

ตอบ:

คำตอบคืออย่างใดอย่างหนึ่ง #40/9# หรือ #40/3# ขึ้นอยู่กับความหมายของคำถาม

คำอธิบาย:

ถ้าอย่างนั้น #n = 2 # จากนั้นไม่มีผลรวมคำตอบก็คือ:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

แต่บางทีคำถามก็ควรจะถามว่าจะเริ่มต้นที่จำนวนเงินไม่สิ้นสุด # n = 2 # เช่นนั้นสมการคือ:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

ในกรณีนี้เราจะคำนวณโดยสังเกตก่อนว่าชุดเรขาคณิตใด ๆ สามารถมองว่าเป็นรูปแบบ:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

ในกรณีนี้ซีรีส์ของเรามี #a = 10 # และ #r = 2/3 #.

เราจะทราบด้วยว่า:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

ดังนั้นเราสามารถคำนวณผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตได้ # (2/3) ^ n # แล้วคูณผลรวมนั้นด้วย #10# ที่จะมาถึงผลลัพธ์ของเรา สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้น

เรามีสมการด้วย:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของซีรีย์ที่เริ่มต้นจาก # n = 0 #. แต่เราต้องการคำนวณจาก # n = 2 #. ในการทำเช่นนี้เราจะลบเครื่องหมาย # n = 0 # และ # n = 1 # เงื่อนไขจากผลรวมเต็ม การเขียนคำศัพท์หลายคำแรกของผลรวมเราจะเห็นได้ว่าดูเหมือนว่า:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

เราจะเห็นว่า:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#