นี่เป็นหลักฐานตรีโกณมิติของกรณีทั่วไปคำถามอยู่ในกล่องรายละเอียดหรือไม่

ตอบ:

พิสูจน์โดยอุปนัยอยู่ด้านล่าง

คำอธิบาย:

เรามาพิสูจน์เอกลักษณ์นี้โดยอุปนัย

A. สำหรับ # n = 1 # เราต้องตรวจสอบว่า

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

แน่นอนโดยใช้ตัวตน #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #เราเห็นว่า

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

จากที่ตามมานั้น

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

ดังนั้นสำหรับ # n = 1 # ตัวตนของเราถือเป็นจริง

B. สมมติว่าตัวตนนั้นเป็นความจริง # n #

ดังนั้นเราจึงสันนิษฐานว่า

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j ใน 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(สัญลักษณ์ # Pi # ใช้สำหรับผลิตภัณฑ์)

C. โดยใช้ข้อสมมติ B ด้านบนลองพิสูจน์ตัวตนของ # 1 + n #

เราต้องพิสูจน์ว่าจากสมมติฐาน B ดังนี้

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j ใน 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(สังเกตว่าขอบเขตที่ถูกต้องสำหรับดัชนีการคูณคือ # n # ตอนนี้)

หลักฐาน

ใช้ตัวตน #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # สำหรับ # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

แบ่งการเริ่มต้นและสิ้นสุดการแสดงออกโดย # 2cos (theta) 1 #ได้รับ

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

ตอนนี้เราใช้การสันนิษฐาน B รับ

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j ใน 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j ใน 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(สังเกตว่าช่วงของดัชนีจะถูกขยายเป็น # n #).

สูตรสุดท้ายนั้นเหมือนกันทุกประการสำหรับ # 1 + n # เช่นเดิมสำหรับ # n #. นั่นเป็นการพิสูจน์ที่สมบูรณ์โดยการเหนี่ยวนำว่าสูตรของเราเป็นจริงสำหรับทุกคน # n #.

ตอบ:

ดูหลักฐานในส่วนคำอธิบายด้านล่าง

คำอธิบาย:

นี่เทียบเท่าเพื่อพิสูจน์ว่า

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ NX + 1) #

# = "R.H.S." #

สนุกกับคณิตศาสตร์!