สมมติว่ามีชาวอังคาร m & n Earthlings ในการประชุมสันติภาพ เพื่อให้แน่ใจว่าชาวอังคารอยู่อย่างสงบในที่ประชุมเราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีชาวอังคารสองคนนั่งด้วยกันเช่นนี้ระหว่างชาวอังคารสองคนที่มีอย่างน้อยหนึ่ง Earthling? (ดูรายละเอียด)

ตอบ:

ก) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

ข) # (n! (n-1)!) / ((n-M)!) #

คำอธิบาย:

นอกจากการให้เหตุผลเพิ่มเติมบางอย่างแล้วเราจะใช้เทคนิคทั่วไปสามประการในการนับ

ก่อนอื่นเราจะใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าหากมี # n # วิธีในการทำสิ่งหนึ่งและ # ม # วิธีในการทำสิ่งอื่นจากนั้นสมมติว่างานมีความเป็นอิสระ (สิ่งที่คุณสามารถทำได้เพื่อสิ่งหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณทำในอีก) มี # # นาโนเมตร วิธีทำทั้งสองอย่าง ตัวอย่างเช่นถ้าฉันมีห้าเสื้อและกางเกงสามคู่ก็มี #3*5=15# ชุดที่ฉันสามารถทำ

ประการที่สองเราจะใช้จำนวนวิธีในการสั่งซื้อ # k # วัตถุคือ #K #!. นี่เป็นเพราะมี # k # วิธีในการเลือกวัตถุแรกแล้ว # k-1 # วิธีการเลือกที่สองและอื่น ๆ เป็นต้น ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ #K (k-1) (k-2) … (2) (1) = k #!

ในที่สุดเราจะใช้จำนวนวิธีที่เลือก # k # วัตถุจากชุด # n # วัตถุคือ # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (เด่นชัดว่าเป็น n เลือก k) เค้าร่างของวิธีการมาถึงสูตรนี้ได้รับที่นี่

a) ถ้าเราไม่สนใจการแยกเริ่มแรกมี # นาที! # วิธีสั่งชาวอังคารและ #N #! วิธีในการสั่งซื้อ Earthlings ในที่สุดเราต้องดูว่าชาวอังคารอยู่ที่ไหน เนื่องจากดาวอังคารแต่ละดวงจะต้องถูกวางไว้ที่ปลายด้านหนึ่งหรือระหว่างสอง Earthlings จึงมี # 1 + n # สถานที่ที่พวกเขาสามารถนั่ง (หนึ่งที่ด้านซ้ายของ Earthling ทุกคนและอีกหนึ่งที่ด้านขวาสุด) ตามที่มี # ม # ชาวอังคารนั่นหมายความว่ามี # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # วิธีที่เป็นไปได้ที่จะวางพวกเขา ดังนั้นการจัดที่นั่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) ปัญหานี้คล้ายกับด้านบน เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นลองเลือก Earthling และเรียกเขาว่าประธานาธิบดี เนื่องจากมันไม่สำคัญว่าวงกลมจะหมุนอย่างไรแทนที่จะอ้างถึงการจัดที่นั่งตามลำดับที่แน่นอนเราจะพิจารณาการจัดที่นั่งตามความสัมพันธ์กับประธานาธิบดี

เช่นเดียวกับข้างต้นถ้าเราเริ่มต้นจากประธานาธิบดีและหมุนตามเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ วงกลมเราสามารถนับจำนวนวิธีในการสั่งผู้เข้าร่วมประชุมที่เหลือ ตามที่มี # ม # ชาวอังคารและ # n-1 # Earthlings ที่เหลือมี # นาที! # วิธีสั่งชาวอังคารและ # (n-1)! # วิธีในการสั่งซื้อ Earthlings ที่เหลือ

ต่อไปเราต้องวางตำแหน่งชาวอังคารอีกครั้ง เวลานี้เราไม่มีจุดเพิ่มเติมในตอนท้ายดังนั้นจึงมีเพียง # n # สถานที่ที่พวกเขาสามารถนั่ง จากนั้นก็มี # ((n), (เมตร)) = (n!) / (m! (n-M)!) # วิธีที่จะวางพวกเขา ดังนั้นการจัดที่นั่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-M)!) = (n! (n-1)!) / ((n-M)!) #