ให้ f (x) = (x + 2) / (x + 3) ค้นหาสมการของเส้นสัมผัสที่ผ่านจุด (0,6) หรือไม่ ร่างการแก้ปัญหาหรือไม่

ตอบ:

เสียบ้างคือ # 25x-9Y + 54 = 0 # และ # การ y = x + 6 #

คำอธิบาย:

ให้ความชันของแทนเจนต์เป็นไป # ม #. สมการของแทนเจนต์นั้นคือ # Y-6 = MX # หรือ # การ y = mx + 6 #

ทีนี้เรามาดูจุดตัดกันของเส้นสัมผัสและโค้งนี้ # การ y = (x + 2) / (x + 3) #. สำหรับการพัตครั้งนี้ # การ y = mx + 6 # ในที่นี้เราได้รับ

# mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # หรือ # (mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

นั่นคือ # MX ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

หรือ # MX ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

นี่ควรให้สองค่าของ # x # กล่าวคือจุดตัดสองจุด แต่แทนเจนต์จะตัดโค้งเพียงจุดเดียว ดังนั้นถ้า # การ y = mx + 6 # เป็นแทนเจนต์เราควรมีเพียงรากเดียวสำหรับสมการกำลังสองซึ่งเป็นไปได้ onli ถ้า discriminant คือ #0# นั่นคือ

# (3m + 5) ^ 2-4 * * * * * * * * 16 เมตร = 0 #

หรือ # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

หรือ # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

นั่นคือ # m = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

นั่นคือ #25/9# หรือ #1#

และด้วยเหตุนี้แทนเจนต์ # การ y = 25 / 9x + 6 # นั่นคือ # 25x-9Y + 54 = 0 #

และ # การ y = x + 6 #

กราฟ {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}