ให้ f: การเพิ่มขึ้นที่กำหนดจาก R ถึง R ค้นหาคำตอบของ f (x) = f ^ -1 (x) หรือไม่

ตอบ:

# f (x) = x #

คำอธิบาย:

เราแสวงหาฟังก์ชั่น #f: RR rarr RR # วิธีการแก้ปัญหานั้น # f (x) = f ^ (- 1) (x) #

นั่นคือเราแสวงหาฟังก์ชั่นที่เป็นตัวผกผันของมันเอง ฟังก์ชั่นหนึ่งที่เห็นได้ชัดคือโซลูชันที่ไม่สำคัญ:

# f (x) = x #

อย่างไรก็ตามการวิเคราะห์อย่างละเอียดมากขึ้นของปัญหามีความซับซ้อนที่สำคัญตามการสำรวจโดย Ng Wee Leng และ Ho Foo เขาตามที่ตีพิมพ์ในวารสารสมาคมครูคณิตศาสตร์

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

ตอบ:

ตรวจสอบด้านล่าง

คำอธิบาย:

จุดร่วมกันระหว่าง # C_f # และ #C_ (ฉ ^ (- 1)) # หากพวกเขามีอยู่พวกเขาไม่ได้อยู่ในเส้นแบ่งครึ่งเสมอ # การ y = x #. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชั่นดังกล่าว: # f (x) = 1-x ^ 2 # #COLOR (สีขาว) (ก) #, # x ##ใน## 0 + OO) #

กราฟ {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

อย่างไรก็ตามพวกเขาอยู่ในเส้นแบ่งครึ่งเท่านั้นและหาก # F # คือ # # ที่เพิ่มขึ้น

ถ้า # F # เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดแล้ว # f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># # f (x) = x #

ถ้า # F # ไม่ได้เพิ่มจุดร่วมอย่างเคร่งครัดโดยการแก้ระบบสมการ

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

ตอบ:

# f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

คำอธิบาย:

# f (x) = x ^ 3 + x-1 # #COLOR (สีขาว) (AA) #, # x ##ใน## RR #

# f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #COLOR (สีขาว) (AA) #, # AA ## x ##ใน## RR #

ดังนั้น # F # คือ # # ใน # RR #. ในฐานะที่เป็นฟังก์ชั่นเสียงเดียวอย่างเคร่งครัดมันเป็นยัง "#1-1#"และเป็นฟังก์ชั่นแบบหนึ่งต่อหนึ่งมันมีอินเวอร์ส

เราต้องแก้สมการ # f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #