วิธีการแก้ปัญหาด้วยการรวม?

ตอบ:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "พื้นที่" = 117/4 #

คำอธิบาย:

Q คือจุดตัด x ของเส้น # 2x + Y = 15 #

เพื่อหาจุดนี้ขอ # การ y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

ดังนั้น # Q = (15 / 2,0) #

P คือจุดสกัดกั้นระหว่างเส้นโค้งและเส้นตรง

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

ตำบล #(1)# เข้าไป #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # หรือ # x = 3 #

จากกราฟพิกัด x ของ P เป็นค่าบวกดังนั้นเราจึงสามารถปฏิเสธได้ # x = -5 #

# x = 3 #

# การ y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

กราฟ {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

ตอนนี้สำหรับพื้นที่

หากต้องการค้นหาพื้นที่ทั้งหมดของภูมิภาคนี้เราสามารถหาพื้นที่สองแห่งและรวมเข้าด้วยกัน

สิ่งเหล่านี้จะเป็นพื้นที่ใต้ # การ y = x ^ 2 # จาก 0 ถึง 3 และพื้นที่ใต้เส้นตั้งแต่ 3 ถึง 15/2

# "พื้นที่ใต้เส้นโค้ง" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3-0 3xx3 ^ #

#=9#

เราสามารถหาพื้นที่ของเส้นผ่านการรวม แต่มันง่ายกว่าที่จะปฏิบัติกับมันเหมือนสามเหลี่ยม

# "พื้นที่ใต้บรรทัด" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "พื้นที่ทั้งหมดของภูมิภาคที่แรเงา" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

ตอบ:

สำหรับ 3 และ 4

ทอมทำเสร็จ 10

คำอธิบาย:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

ตอบ:

ดูด้านล่าง:

คำเตือน: คำตอบยาว!

คำอธิบาย:

สำหรับ (3):

ใช้คุณสมบัติ:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

ดังนั้น:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

สำหรับ (4):

(สิ่งเดียวกัน)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

อย่างไรก็ตามเราต้องสลับข้อ จำกัด ในอินทิกรัลดังนั้น:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

ดังนั้น:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

สำหรับ 10 (a):

เรามีสองฟังก์ชันที่ตัดกันที่ # P #ดังนั้นที่ # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(ฉันเปลี่ยนฟังก์ชั่นของเส้นให้อยู่ในรูปแบบความชัน - ดัก)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

ดังนั้น # x = 3 # ในขณะที่เราไปทางขวาของ # Y # แกนดังนั้น # x> 0 #.

(ป้อน # x = 3 # เข้าไปในฟังก์ชั่นใด ๆ)

# การ y = -2x + 15 #

# การ y = -2 (3) + 15 #

# การ y = 15-6 = 9 #

ดังนั้นพิกัดของ # P # คือ #(3,9)#

สำหรับ # Q #, เส้น # การ y = -2x + 15 # ตัด # Y #- แกนดังนั้น # การ y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7.5 #

ดังนั้น # Q # ตั้งอยู่ที่ #(7.5, 0)#

สำหรับ 10 (b)

ฉันจะสร้างอินทิกรัลสองตัวเพื่อค้นหาพื้นที่ ฉันจะแก้ปัญหาอินทิกรัลแยกกัน

พื้นที่คือ:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(แก้ไขอินทิกรัลแรก)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(แทนที่ข้อ จำกัด ในนิพจน์ที่รวมไว้แล้วโปรดจำไว้ว่า:

ขีด จำกัด ล่างบน เพื่อหาค่าของอินทิกรัล)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(แก้อินทิกรัลที่สอง)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(ข้อ จำกัด ทดแทน: บน - ล่าง)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #