คะแนน (2, 9) และ (1, 3) คือ (3 pi) / 4 เรเดียนเป็นวงกลม ความยาวส่วนโค้งที่สั้นที่สุดระหว่างจุดคืออะไร?

ตอบ:

6.24 หน่วย

คำอธิบาย:

จะเห็นได้จากรูปด้านบนที่สั้นที่สุด # arcAB # การมีจุดสิ้นสุด A (2,9) และ B (1,3) จะทำการสรุป # ปี่ / 4 # มุมรัศมีที่ศูนย์กลาง O ของวงกลม AB chord ได้มาจากการเข้าร่วม A, B OC ตั้งฉากจะวาดที่ C จากศูนย์กลาง O

ตอนนี้สามเหลี่ยม OAB คือหน้าจั่วมี OA = OB = r (รัศมีของวงกลม)

เส้นแบ่งครึ่ง # / _ AOB # และ # / _ AOC # กลายเป็น # ปี่ / 8 #.

AgainAC = BC# = 1 / 2AB = 1/2 * sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-3) ^ 2) = 1 / 2sqrt37 #

#:. AB = sqrt37 #

ตอนนี้ # AB = AC + BC = rsin / _AOC + rsin / _BOC = 2rsin (PI / 8) #

# r = 1 / 2AB * (1 / บาป (PI / 8)) = 1 / 2sqrt37csc (PI / 8) #

ตอนนี้

ความยาวส่วนโค้งที่สั้นที่สุดของ AB = รัศมี# * / _ AOB = R * / _ AOB = R * (PI / 4) = 1 / 2sqrt37csc (PI / 8) * (PI / 4) = 6.24 #หน่วย

ง่ายขึ้นโดยคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม

# R / บาป (3pi / 8) = (AB) / บาป (PI / 4) #

# r = (AB) / บาป (PI / 4) * (บาป (3pi / 8)) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) #

ตอนนี้

ความยาวส่วนโค้งที่สั้นที่สุดของ AB = รัศมี# * / _ AOB = R * / _ AOB = R * (PI / 4) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) * ปี่ / 4 = 6.24 # หน่วย