หมายเลข 90 ^ 9 มีตัวหารอินทิกรัลเชิงบวกที่แตกต่างกัน 1900 ค่า จำนวนเหล่านี้มีกำลังสองของจำนวนเต็ม?

ตอบ:

ว้าว - ฉันจะตอบคำถามของฉันเอง

คำอธิบาย:

ปรากฎว่าวิธีการคือการรวมกันของ combinatorics และทฤษฎีจำนวน เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบ #90^9# เป็นปัจจัยสำคัญ:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

เคล็ดลับที่นี่คือการหาวิธีหากำลังสองของจำนวนเต็มซึ่งค่อนข้างง่าย จำนวนเต็มกำลังสองสามารถสร้างได้หลายวิธีจากการแยกตัวประกอบ:

#5^9*3^18*2^9#

เราเห็นได้ว่า #5^0#ตัวอย่างเช่นเป็นจตุรัสของจำนวนเต็มและตัวหารของ #90^9#; ในทำนองเดียวกัน #5^2#, #5^4#,#5^6#และ #5^8# ทั้งหมดตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้เช่นกัน ดังนั้นเรามี 5 วิธีที่เป็นไปได้ในการกำหนดค่าตัวหาร #90^9# นั่นคือกำลังสองของจำนวนเต็มโดยใช้ 5s เพียงอย่างเดียว

ใช้เหตุผลเดียวกันกับ #3^18# และ #2^9#. ทุก ๆ ค่าพลังของปัจจัยสำคัญเหล่านี้ - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 ทั้งหมด) สำหรับ 3 และ 0, 2, 4, 6, 8 (รวม 5) สำหรับ 2 - เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบซึ่งเป็นตัวหารของ #90^9#. นอกจากนี้ การรวมกันใด ๆ ของเหล่านักหารหลักที่มีอำนาจแม้จะเป็นไปตามเงื่อนไขเช่นกัน ตัวอย่างเช่น #(2^2*5^2)^2# เป็นจตุรัสของจำนวนเต็มตามที่เป็นอยู่ #(3^8*2^4)^2#; และทั้งคู่ประกอบไปด้วยตัวหารของ #90^9#ยังเป็นตัวหารของ #90^9#.

ดังนั้นจำนวนสี่เหลี่ยมที่ต้องการของจำนวนเต็มที่เป็นตัวหารของ #90^9# ได้รับจาก #5*10*5#ซึ่งเป็นการคูณตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละปัจจัยสำคัญ (5 สำหรับ 5, 10 สำหรับ 3 และ 5 สำหรับ 2) นี่เท่ากับ #250#ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง