ทรงกระบอกที่ใหญ่ที่สุดของรัศมี r และความสูง h ที่สามารถบรรจุในทรงกลมของรัศมี R คืออะไร?

ตอบ:

หากเราเลือกปริมาตรสูงสุดของทรงกระบอก

# r = sqrt (2/3) R #และ #h = (2R) / sqrt (3) #

ตัวเลือกนี้นำไปสู่ปริมาณกระบอกสูบสูงสุด:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

คำอธิบาย:

``

ลองนึกภาพส่วนที่ตัดผ่านจุดศูนย์กลางของกระบอกสูบแล้วปล่อยให้กระบอกสูบมีความสูง # H #และปริมาณ # V #จากนั้นเรามี;

# H # และ # R # สามารถเปลี่ยนแปลงได้และ # R # เป็นค่าคงที่ ปริมาตรของทรงกระบอกถูกกำหนดโดยสูตรมาตรฐาน:

# V = ^ pir 2h #

รัศมีของทรงกลม # R # คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีด้านข้าง # R # และ # 1 / 2H #ดังนั้นเมื่อใช้ Pythagoras เรามี:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

เราสามารถแทนที่สิ่งนี้เป็นสมการปริมาณเพื่อรับ:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

ตอนนี้เรามีปริมาณ # V # เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรเดียว # H #ซึ่งเราพยายามที่จะเพิ่ม wrt สูงสุด # H # ดังนั้นความแตกต่าง wrt # H # ให้:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

อย่างน้อยที่สุดหรือสูงสุด # (dV) / (dh) = 0 # ดังนั้น:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (เห็นได้ชัดว่าเราต้องการราก + ve)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

ด้วยคุณค่าของ # H # เราได้รับ:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

เราควรตรวจสอบว่าค่านี้นำไปสู่ปริมาณสูงสุด (แทนที่จะเป็นจำนวนสูงสุด) เราทำได้โดยดูที่อนุพันธ์อันดับสอง:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

และเป็น # h> 0 # เราสรุปได้ว่า # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # และจุดวิกฤตที่ระบุนำไปสู่การสูงสุดตามที่ต้องการ

ดังนั้นเราจะพบปริมาตรสูงสุดของทรงกระบอกหากเราเลือก

# r = sqrt (2/3) R #และ #h = (2R) / sqrt (3) #

ด้วยตัวเลือกนี้เราจะได้รับปริมาณสูงสุดดังนี้

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

และแน่นอนว่าปริมาตรของทรงกลมนั้นมอบให้โดย:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

นี่เป็นปัญหาที่โด่งดังมากซึ่งถูกศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกก่อนที่จะค้นพบแคลคูลัส คุณสมบัติที่น่าสนใจคืออัตราส่วนของปริมาตรของทรงกระบอกต่อปริมาตรของทรงกลม:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

กล่าวอีกนัยหนึ่งอัตราส่วนของวอลุ่มนั้นไม่ขึ้นอยู่กับ # R #, # R # หรือ # H # ซึ่งค่อนข้างเป็นผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจ!