ขณะนี้มีหลังคาทรงกระบอกครึ่งหนึ่งของรัศมี r และความสูง r ติดตั้งอยู่ด้านบนของผนังสี่เหลี่ยมสี่ของความสูง h เรามีแผ่นพลาสติก200π m ^ 2 เพื่อใช้ในการก่อสร้างโครงสร้างนี้ ค่า r ที่อนุญาตให้ใช้ปริมาณสูงสุดคือเท่าใด

ตอบ:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

คำอธิบาย:

ให้ฉันทบทวนคำถามตามที่ฉันเข้าใจ

ระบุพื้นที่ผิวของวัตถุนี้คือ # 200pi #เพิ่มระดับเสียง.

วางแผน

เมื่อรู้พื้นที่ผิวเราสามารถแสดงความสูงได้ # H # เป็นฟังก์ชั่นของรัศมี # R #จากนั้นเราสามารถแทนปริมาตรเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เดียวเท่านั้น - รัศมี # R #.

ฟังก์ชั่นนี้จะต้องใช้ให้ใหญ่สุด # R # เป็นพารามิเตอร์ ที่ให้คุณค่าของ # R #.

พื้นที่ผิวประกอบด้วย:

4 ผนังที่ก่อให้เกิดพื้นผิวด้านข้างของขนานที่มีเส้นรอบวงของฐาน # # 6R และความสูง # H #ซึ่งมีพื้นที่ทั้งหมดของ # # 6RH.

1 หลังคาครึ่งพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกของรัศมี # R # และสูง # R #ที่มีพื้นที่ของ #pi r ^ 2 #

หลังคาสองด้านครึ่งวงกลมรัศมี # R #พื้นที่ทั้งหมดซึ่งเป็น #pi r ^ 2 #.

ผลรวมพื้นที่ผิวของวัตถุคือ

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

รู้สิ่งนี้ให้เท่ากับ # 200pi #เราสามารถแสดง # H # ในแง่ของ # R #:

# 6RH + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

ปริมาณของวัตถุนี้มีสองส่วน: ด้านล่างหลังคาและภายในหลังคา

ด้านล่างหลังคาเราขนานกับพื้นที่ฐาน # 2r ^ 2 # และความสูง # H #นั่นคือปริมาณของมันคือ

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

ภายในหลังคาเรามีรัศมีครึ่งสูบ # R # และความสูง # R #ปริมาณของมันคือ

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

เราต้องเพิ่มฟังก์ชั่นให้สูงสุด

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

ที่มีลักษณะเช่นนี้ (ไม่ปรับขนาด)

กราฟ {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

ฟังก์ชันนี้ถึงค่าสูงสุดเมื่ออนุพันธ์เท่ากับศูนย์สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวก

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

ในพื้นที่ของ #R> 0 # มันเท่ากับศูนย์เมื่อ # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

นั่นคือรัศมีที่ให้ปริมาตรมากที่สุดเนื่องจากพื้นที่ผิวและรูปร่างของวัตถุ