คุณใช้ทฤษฎีบทของ demoivre เพื่อทำให้ง่ายขึ้น (1-i) ^ 12 ได้อย่างไร

ตอบ:

#-64#

คำอธิบาย:

#z = 1 - ฉัน # จะอยู่ใน Quadrant อันดับที่ 4 ของแผนภาพ Argand สิ่งสำคัญที่ควรทราบเมื่อเราพบข้อโต้แย้ง

#r = sqrt (1 ^ 2 + (-1) ^ 2) = sqrt (2) #

#theta = 2pi - tan ^ (- 1) (1) = (7pi) / 4 = -pi / 4 #

#z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

# z ^ 12 = (sqrt (2)) ^ 12 (cos (-12pi / 4) + isin (-12pi / 4)) #

# z ^ 12 = 2 ^ (1/2 * 12) (cos (-3pi) + isin (-3pi)) #

# z ^ 12 = 2 ^ 6 (cos (3pi) - isin (3pi)) #

#cos (3pi) = cos (pi) = -1 #

#sin (3pi) = sin (pi) = 0 #

# z ^ 12 = -2 ^ 6 = -64 #

วิธีใช้ทฤษฎีบทของ DeMoivre เพื่อค้นหาพลังที่ระบุของ (sqrt 3 - i) ^ 6?

-64 sqrt (3) - i = 2 (sqrt (3) / 2 - i / 2) = 2 (cos (-30 °)) + i * sin (-30 °)) = 2 * e ^ (- i * pi / 6) => (sqrt (3) - i) ^ 6 = (2 * e ^ (- i * pi / 6)) ^ 6 = 64 * e ^ (- i * pi) = 64 * (cos ( -180 °) + i * sin (-180 °)) = 64 * (- 1 + i * 0) = -64

ทฤษฎีบทของ DeMoivre คืออะไร + ตัวอย่าง

ทฤษฎีบทของ DeMoivre ขยายตัวตามสูตรของออยเลอร์: e ^ (ix) = cosx + isinx ทฤษฎีบท DeMoivre บอกว่า: (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n ตัวอย่าง: cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x อย่างไรก็ตาม i ^ 2 = -1 (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x การแก้ไขสำหรับส่วนจริงและจินตภาพของ x: cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) เปรียบเทียบกับ cos (2x) + isin (2x) cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x sin (2x) = 2sinxcosx นี่คือสูตรมุมสองมุมสำหรับ cos และ sin สิ่งนี

คุณใช้ทฤษฎีบทของ DeMoivre อย่างไรในการทำให้ (5 (cos (pi / 9) + isin (pi / 9))) ^ 3 ง่ายขึ้น?

= 125 (1/2 + (sqrt (3)) / 2i) ยังสามารถเขียนเป็น 125e ^ ((ipi) / 3) โดยใช้สูตรออยเลอร์ถ้าคุณต้องการ ทฤษฎีบทของ De Moivre ระบุว่าสำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = r (costheta + isintheta) z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) ดังนั้นที่นี่ z = 5 (cos (pi / 9) + isin (pi / 9)) z ^ 3 = 5 ^ 3 (cos (pi / 3) + isin (pi / 3)) = 125 (1/2 + (sqrt (3)) / 2i)