สแควร์รูทของ 89 คืออะไร?

ตอบ:

รากที่สองของ #89# เป็นตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสองให้ #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

คำอธิบาย:

ตั้งแต่ #89# เป็นนายก #sqrt (89) # ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

คุณสามารถประมาณค่าได้โดยใช้วิธี Newton Raphson

ฉันชอบที่จะปฏิรูปมันเล็กน้อยดังนี้

ปล่อย #n = 89 # เป็นหมายเลขที่คุณต้องการสแควร์รูทของ

เลือก # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # ดังนั้น # p_0 / q_0 # เป็นการประมาณตามเหตุผลที่สมเหตุสมผล ฉันเลือกค่าเฉพาะเหล่านี้ตั้งแต่ #89# ประมาณครึ่งทาง #9^2 = 81# และ #10^2 = 100#.

ทำซ้ำโดยใช้สูตร:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

สิ่งนี้จะทำให้การประมาณด้วยเหตุผลที่ดีขึ้น

ดังนั้น:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

ดังนั้นถ้าเราหยุดตรงนี้เราจะได้ค่าประมาณ:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

ไปอีกขั้นหนึ่ง:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

ดังนั้นเราจึงได้ประมาณ:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

วิธีการนี้ของ Newton Raphson ทำให้การแปลงเป็นไปอย่างรวดเร็ว

#COLOR (สีขาว) () #

ที่จริงแล้วการประมาณแบบง่าย ๆ ค่อนข้างดีสำหรับ #sqrt (89) # คือ #500/53#, ตั้งแต่ #500^2 = 250000# และ #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

หากเราใช้หนึ่งขั้นตอนการทำซ้ำกับสิ่งนี้เราจะได้รับการประมาณที่ดีกว่า:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#COLOR (สีขาว) () #

เชิงอรรถ

รากที่สองของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดได้ทำซ้ำการขยายเศษส่วนต่อเนื่องซึ่งคุณสามารถใช้เพื่อให้การประมาณด้วยเหตุผล

อย่างไรก็ตามในกรณีของ #sqrt (89) # การขยายตัวของเศษส่วนต่อเนื่องนั้นยุ่งเล็กน้อยดังนั้นจึงไม่ค่อยดีนักที่จะทำงานกับ:

#sqrt (89) = 9; แถบ (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3) + …))))))) #

การประมาณค่า #500/53# ด้านบนคือ #9; 2, 3, 3, 2#