ดาวเทียมสองดวง P_ "1" และ P_ "2" กำลังหมุนรอบในรัศมีของรัศมี R และ 4R อัตราส่วนของความเร็วเชิงมุมสูงสุดและต่ำสุดของเส้นที่เข้าร่วม P_ "1" และ P_ "2" คือ ??

ตอบ:

#-9/5#

คำอธิบาย:

ตามกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ # T ^ 2 propto R ^ 3 หมายถึง omega propto R ^ {- 3/2} #ถ้าความเร็วเชิงมุมของดาวเทียมชั้นนอกคือ โอเมก้า # #นั่นคือสิ่งที่อยู่ภายใน #omega ครั้ง (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

ให้เราพิจารณา # t = 0 # จะเป็นทันใดเมื่อดาวเทียมทั้งสองมี collinear กับดาวเคราะห์แม่และให้เราใช้สายร่วมนี้เป็น # X # แกน. จากนั้นพิกัดของดาวเคราะห์ทั้งสองในเวลา # เสื้อ # เป็น # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # และ # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #ตามลำดับ

ปล่อย # theta # เป็นมุมที่เส้นที่เชื่อมต่อกับดาวเทียมทั้งสองทำด้วย # X # แกน. มันง่ายที่จะเห็นว่า

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

ผลผลิตที่แตกต่าง

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 ครั้ง #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

ดังนั้น

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) - sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) --cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 โอเมก้า 6-9cos (7 โอเมก้า t) แสดงถึง #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) แสดงถึง #

# (d theta) / dt = 12 โอเมก้า (2 - 3 cos (7 โอเมก้า t)) / (17 -8 cos (7 โอเมก้า t)) equiv 12 โอเมก้า f (เพราะ (7 โอเมก้า t)) #

ตรงที่ฟังก์ชั่น

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

มีอนุพันธ์

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

และด้วยเหตุนี้จึงลดลง monotonically ในช่วงเวลา #-1,1#.

ดังนั้นความเร็วเชิงมุม # (d theta) / dt # สูงสุดเมื่อ #cos (7 โอเมก้า t) # เป็นขั้นต่ำและในทางกลับกัน

ดังนั้น, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 โอเมก้า (2 - 3 ครั้ง (-1)) / (17-8 ครั้ง (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega คูณ 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 โอเมก้า (2 - 3 ครั้ง 1) / (17-8 ครั้ง 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 โอเมก้าครั้ง (-1) / 9 = -4/3 omega #

และอัตราส่วนระหว่างสองคือ:

# 12/5 โอเมก้า: -4/3 omega = -9: 5 #

บันทึก ความจริงที่ว่า # (d theta) / dt # สัญญาณการเปลี่ยนแปลงเป็นสาเหตุของการเคลื่อนไหวถอยหลังเข้าคลองชัดเจน