คอร์ดที่มีความยาว 12 วิ่งจาก pi / 12 ถึง pi / 6 เรเดียนบนวงกลม พื้นที่ของวงกลมคืออะไร?

ตอบ:

พื้นที่ของวงกลมคือ

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

คำอธิบาย:

รูปภาพด้านบนสะท้อนถึงเงื่อนไขที่กำหนดในปัญหา มุมทั้งหมด (ขยายเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น) อยู่ในเรเดียนนับจากแกน X ในแนวนอน #วัว# ทวนเข็มนาฬิกา

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = R #

เราต้องหารัศมีของวงกลมเพื่อกำหนดพื้นที่ของมัน

เรารู้ว่าคอร์ดนั้น # AB # มีความยาว #12# และมุมระหว่างรัศมี # # โอเอ และ # # OB (ในกรณีที่ # O # เป็นศูนย์กลางของวงกลม) คือ

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

สร้างระดับความสูง # OH # ของรูปสามเหลี่ยม #Delta AOB # จากจุดสุดยอด # O # ไปด้านข้าง # AB #. ตั้งแต่ #Delta AOB # หน้าจั่ว # OH # เป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งมุม:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก #Delta AOH #.

เรารู้ว่า cathetus # AH = 6 # และมุม # / _ AOH = pi / 24 #.

ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉาก # # โอเอซึ่งเป็นรัศมีของวงกลมของเรา # R #เท่ากับ

# r = = โอเอ (AH) / บาป (/ _ AOH) = 6 / บาป (PI / 24) #

เมื่อทราบรัศมีเราสามารถหาพื้นที่ได้:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

มาแสดงสิ่งนี้โดยไม่ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตั้งแต่

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

เราสามารถแสดงพื้นที่ดังต่อไปนี้:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติอื่น:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

ดังนั้น,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

ตอนนี้เราสามารถแสดงพื้นที่ของวงกลมเป็น

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

ตอบ:

อีกวิธีการเดียวกันผลลัพธ์

คำอธิบาย:

AB chord ที่มีความยาว 12 ในรูปด้านบนเริ่มต้นจาก# ปี่ / 12 # ไปยัง # ปี่ / 6 # ในวงกลมรัศมี R และศูนย์ O นำมาเป็นแหล่งกำเนิด

# / _ AOX = pi / 12 # และ # / _ BOX = pi / 6 #

พิกัดเชิงขั้วของ A # = (R, ปี่ / 12) # และของ B # = (R, ปี่ / 6) #

การใช้สูตรระยะทางสำหรับพิกัดเชิงขั้ว

ความยาวของคอร์ด AB# 12 = sqrt (R ^ 2 + R ^ 2-2 * R ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = R ^ 2 + R ^ 2-2 * R ^ 2 * cos (PI / 6 ปี่ / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (PI / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (PI / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (PI / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (PI / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * ปี่ / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (PI / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

ดังนั้นพื้นที่ของวงกลม

# = pi * R ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #