คุณจะค้นหาเส้นกำกับสำหรับ y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) ได้อย่างไร

ตอบ:

แนวตั้ง

# x = 1 #

# x = 3 #

ตามแนวนอน

# x = 1 # (สำหรับทั้ง # + - อู #)

เอียง

ไม่มีอยู่

คำอธิบาย:

ปล่อย # การ y = f (x) #

• เส้นกำกับแนวดิ่ง

ค้นหาขีด จำกัด ของฟังก์ชันตามที่มีแนวโน้มถึงขีด จำกัด ของโดเมนยกเว้นอินฟินิตี้ หากผลลัพธ์ของพวกเขาไม่มีที่สิ้นสุดกว่านั้น # x # เส้นเป็นเส้นกำกับ ที่นี่โดเมนคือ:

#x ใน (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

ดังนั้น 4 เป็นไปได้ เส้นกำกับแนวดิ่งคือ:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

สิ้นสุด # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + OO # เส้นกำกับแนวดิ่งสำหรับ # x = 1 #

หมายเหตุ: สำหรับ # x-1 # ตั้งแต่ # x # ต่ำกว่า 1 เล็กน้อยผลลัพธ์จะเป็นสิ่งที่ต่ำกว่า 0 เล็กน้อยดังนั้นเครื่องหมายจะเป็นลบดังนั้นหมายเหตุ #0^-# ซึ่งต่อมาแปลเป็นสัญญาณเชิงลบ

การยืนยันสำหรับเส้นกำกับ # x-> 1 + ^ #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ * + (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # ได้รับการยืนยัน

สิ้นสุด # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # เส้นกำกับแนวดิ่งสำหรับ # x = 3 #

การยืนยันสำหรับเส้นกำกับ # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + OO # ได้รับการยืนยัน

• เส้นกำกับแนวนอน

ค้นหาขีด จำกัด ทั้งสองเมื่อฟังก์ชันมีแนวโน้ม # + - อู #

ลบอนันต์ # x -> - อู #

#lim_ (x -> - อู) f (x) = lim_ (x -> - อู) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - อู) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - อู) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - อู) (ยกเลิก (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (ยกเลิก (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - อู) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# เส้นกำกับแนวนอนสำหรับ # การ y = 1 #

บวกอนันต์ # x -> + OO #

#lim_ (x -> + OO) f (x) = lim_ (x -> + OO) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + OO) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + OO) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + OO) (ยกเลิก (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (ยกเลิก (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + OO) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# เส้นกำกับแนวนอนสำหรับ # การ y = 1 #

หมายเหตุ: มันเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชั่นนี้มีแนวนอนร่วมกันสำหรับทั้งคู่ # -oo # และ # + OO #. คุณควรตรวจสอบทั้งคู่เสมอ

• เส้นกำกับเฉียง

คุณต้องค้นหาขีด จำกัด ทั้งสองก่อน:

#lim_ (x -> + - อู) f (x) / x #

สำหรับแต่ละถ้าขีด จำกัด นี้เป็นจำนวนจริงดังนั้นเส้นกำกับจะมีอยู่และขีด จำกัด คือความชัน # Y # การสกัดกั้นของแต่ละข้อ จำกัด:

#lim_ (x -> + - อู) (f (x) -m * x) #

อย่างไรก็ตามเพื่อช่วยเราแก้ปัญหาคุณสามารถใช้ฟังก์ชั่น "ความรู้" เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ เนื่องจากเรารู้ # f (x) # มีเส้นกำกับแนวนอนสำหรับทั้งคู่ # + - อู # วิธีเดียวในการมีเฉียงคือการมีอีกสายหนึ่งเป็น # x -> + - อู #. อย่างไรก็ตาม # f (x) # คือ #1-1# ฟังก์ชั่นดังนั้นจึงไม่สามารถมีสอง # Y # ค่าสำหรับหนึ่ง # x #ดังนั้นบรรทัดที่สองจึงเป็นไปไม่ได้ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีเส้นกำกับเฉียง