Extrema ท้องถิ่นคืออะไรถ้ามี f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)

ตอบ:

#(0.14414, 0.05271)# เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น

#(1.45035, 0.00119)# และ #(-1.59449, -1947.21451)# เป็นขั้นต่ำในท้องถิ่น

คำอธิบาย:

# f (x) = การ y = XE ^ (x ^ 3-7x) #

# DY / DX = x (3x ^ 2-7) จ ^ (x ^ 3-7x) + E ^ (x ^ 3-7x) = E ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,: e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = OO #

สิ่งนี้ไม่ถือว่าเป็น extremum ท้องถิ่น

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

เพื่อแก้รากของฟังก์ชันลูกบาศก์นี้เราใช้วิธี Newton-Raphson:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (ฉ '(x_n)) #

นี่เป็นกระบวนการวนซ้ำที่จะพาเราเข้าใกล้รูตของฟังก์ชันมากขึ้น ฉันไม่ได้รวมกระบวนการที่มีความยาวอยู่ที่นี่ แต่เมื่อมาถึงที่รูทแรกเราสามารถทำการหารยาวและแก้สมการกำลังสองที่เหลือได้อย่างง่ายดายสำหรับอีกสองราก

เราจะได้รับรูตดังต่อไปนี้:

# x = 0.14414, 1.45035 และ -1.59449 #

ตอนนี้เราทำการทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกและลองค่าไปทางซ้ายและขวาของแต่ละรูทเพื่อดูว่าอนุพันธ์นั้นเป็นบวกหรือลบ

สิ่งนี้จะบอกเราว่าจุดใดเป็นจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด

ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:

#(0.14414, 0.05271)# เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น

#(1.45035, 0.00119)# และ #(-1.59449, -1947.21451)# เป็นขั้นต่ำในท้องถิ่น

คุณสามารถดูหนึ่งในค่าต่ำสุดในกราฟด้านล่าง:

มุมมองต่อไปนี้แสดงจำนวนสูงสุดและต่ำสุด: