โดเมนและช่วงของ f (x) = {x ^ 2 - 81} / {x ^ 2 - 4x} คืออะไร

ตอบ:

# D_f = RR- {0,4} = (- OO, 0) UU (0,4) UU (4 + OO) #, ช่วง = # f (D_f) = (- อู (81-9sqrt65) / 8 UU (81 + 9sqrt65) / 8 + OO) #

คำอธิบาย:

# f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) #

เพื่อให้ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดขึ้นเราต้องการ # x ^ 2-4x! = 0 #

เรามี # x ^ 2-4x = 0 # #<=># # x (x-4) = 0 # #<=># # (x = 0 x = 4) #

ดังนั้น # D_f = RR- {0,4} = (- OO, 0) UU (0,4) UU (4 + OO) #

สำหรับ # x ## inD_f #, # f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) # #=# # ((x-9) (x + 9)) / (x ^ 2-4x) #

#f (x) = 0 <=> (x = 9, x = -9) #

• # (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) y = # #<=># # x ^ 2-81 y = (x ^ 2-4x) #

# x ^ 2-81 = ^ YX 2-4xy #

• เพิ่ม #COLOR (สีเขียว) (4yx) # ทั้งสองด้าน

# x ^ 2-81 + 4yx = YX ^ 2 #

• Substracting #COLOR (สีแดง) (YX ^ 2) # จากทั้งสองด้าน

# x ^ 2-81 + 4yx-YX ^ 2 = 0 # #<=>#

# x ^ 2 (1-y) + 4xy-81 = 0 #

นี่คือสมการกำลังสองสำหรับ # x # ดังนั้น

# A = 1-Y #

# B = 4Y #

# c = -81 #

พวกเราต้องการ # D = b ^ 2-4 * a * ค> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2-4 (1-y) * (- 81)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2 + 324 (1-y)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2-324y + 324> = 0 # #<=>#

# 4Y ^ 2-81y + 81> = 0 #

#y_ (1,2) = (- B + -sqrt (ข ^ 2-4ac)) / (2a) #

#=# # (81 + -sqrt (6561-1296)) / 8 #

#=# # (81 + -sqrt (5265)) / 8 #

#=# # (81 + -9sqrt65) / 8 #

# 4Y ^ 2-81y + 81> = 0 # #<=># # (y <= (81-9sqrt65) / 8 # หรือ # y> = (81 + 9sqrt65) / 8) #

ดังนั้น, # f (x) <= (81-9sqrt65) / 8 # หรือ # f (x)> = (81 + 9sqrt65) / 8 #

ซึ่งหมายความว่า, # f (D_f) = (- อู (81-9sqrt65) / 8 UU (81 + 9sqrt65) / 8 + OO) #