(sin10 sin 20 sin40 sin50) / (cos10 cos 20 cos40 cos50) คุณค่าของสิ่งนั้น?

ตอบ:

เกี่ยวกับรูปแบบที่ง่ายที่สุดที่ฉันพบคือ

#sec 20 ^ circ - 1 #

คำอธิบาย:

จากมุมที่สมบูรณ์ #sin 50 ^ circ = cos 40 ^ circ # และในทางกลับกันดังนั้น

# {sin 10 ^ circ sin 20 ^ circ sin 40 ^ circ sin 50 ^ circ} / {cos 10 ^ circ cos 20 ^ circ cos 40 ^ circ cos 50 ^ circ} #

# = {sin 10 ^ circ บาป 20 ^ circ} / {cos 10 ^ circ cos 20 ^ circ} ครั้ง {sin 40 ^ circ} / {cos 50 ^ circ} ครั้ง {sin 50 ^ circ} / cos 40 ^ circ #

# = {sin 10 ^ circ บาป 20 ^ circ} / {cos 10 ^ circ cos 20 ^ circ} #

# = {sin 10 ^ circ (2 sin 10 ^ circ cos 10 ^ circ)} / {cos 10 ^ circ cos 20 ^ circ} #

# = {2 sin ^ 2 10 ^ circ} / { cos 20 ^ circ} #

# = {1 - cos 20 ^ circ} / {cos 20 ^ circ} #

# = วินาที 20 ^ circ - 1 #

แสดงว่าcos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos²6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 ฉันสับสนเล็กน้อยถ้าฉันทำCos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) มันจะเปลี่ยนค่าลบเป็น cos (180 ° -theta) = - costheta ใน ด้านที่สอง ฉันจะไปพิสูจน์คำถามได้อย่างไร

โปรดดูที่ด้านล่าง. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

แสดงว่า (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

โปรดดูที่ด้านล่าง. ให้ 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), ที่นี่ r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) และ tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) หรือ alpha = theta / 2 จากนั้น 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) และเราสามารถเขียน (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n ใช้ทฤษฎีบท DE MOivre เป็น r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2

คุณยืนยัน [sin ^ 3 (B) + cos ^ 3 (B)] / [sin (B) + cos (B)] = 1-sin (B) cos (B) ได้อย่างไร

หลักฐานด้านล่างการขยายตัวของ ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) และเราสามารถใช้สิ่งนี้: (sin ^ 3B + cos ^ 3B) / (sinB + cosB) = ((sinB + cosB) (sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B)) / (sinB + cosB) = sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B = sin ^ 2B + cos ^ 2B-sinBcosB (เอกลักษณ์: sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1) = 1-sinBcosB