การแทนตรีโกณมิติแตกต่างจากการแทนที่ u อย่างไร

ตอบ:

โดยทั่วไปการทดแทนตรีโกณมิติจะใช้สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม # x ^ 2 + -a ^ 2 # หรือ #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #ในขณะที่ #ยู#- การแทนที่ใช้เมื่อฟังก์ชันและอนุพันธ์ปรากฏในอินทิกรัล

คำอธิบาย:

ฉันพบว่าการทดแทนทั้งสองประเภทน่าสนใจมากเพราะเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังพวกเขา พิจารณาก่อนอื่นทดแทนตรีโกณมิติ สิ่งนี้เกิดจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสและอัตลักษณ์ของพีทาโกรัสซึ่งอาจเป็นแนวคิดที่สำคัญที่สุดสองประการในวิชาตรีโกณมิติ เราใช้สิ่งนี้เมื่อเรามีสิ่งที่ชอบ:

# x ^ 2 + A ^ 2 -> # ที่ไหน # A # มีค่าคงที่

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # สมมติอีกครั้ง # A # มีค่าคงที่

เราจะเห็นได้ว่าสองคนนี้มีลักษณะเหมือนกันมาก # a ^ 2 + B ^ 2 c = ^ 2 #ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันเกี่ยวข้องกับทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ถ้าเราวาดออกมาเราจะเห็นว่าใช่ # x ^ 2 + A ^ 2 # สามารถแสดงด้วยสามเหลี่ยม:

รูปภาพมีประโยชน์มากเพราะมันบอกเรา # tantheta = x / a #, หรือ # atantheta = x #; นี่เป็นพื้นฐานของการทดแทนตรีโกณมิติ ยิ่งกว่านั้น (และนี่คือที่ที่มันยอดเยี่ยม) เมื่อคุณทดแทน # x = tantheta # เข้าไป # x ^ 2 + A ^ 2 #คุณจะต้องจบด้วยตัวตนของพีทาโกรัสในกรณีนี้ # สีน้ำตาล ^ 2theta + 1 = วินาที ^ 2theta #. จากนั้นคุณสามารถทำบางอย่างให้ง่ายขึ้น # วินาที ^ 2theta # ถ้าคุณต้องการและส่วนประกอบนั้นง่ายในการออกไปข้างนอก กันไปสำหรับกรณี # x ^ 2-A ^ 2 #, # a ^ 2 x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #และ #sqrt (a ^ 2 x ^ 2) #.

คุณสามารถใช้ Trig ย่อย สำหรับปัญหามากมาย แต่คุณสามารถใช้ #ยู#- รัฐธรรมนูญมีเนื้อหามากขึ้น เราใช้เทคนิคนี้เมื่อเรามีสิ่งที่ชอบ # intlnx / xdx #. ถ้าเราเป็นคนช่างสังเกตเราจะเห็นว่าเรามีสองหน้าที่ - # LNX # และ # 1 / x #. และถ้าเราจำอนุพันธ์ขั้นพื้นฐานของเราได้เราก็รู้ # d / dxlnx = 1 / x # สำหรับ # x> 0 # (หรือ # d / dxlnabs (x) = 1 / x # สำหรับ # เท่า! = 0 #) ดังนั้นความคิดคือการพูดให้ # U = LNX #; แล้วก็ # (du) / DX = 1 / x # และ # du = DX / x #. ปัญหาหลังจากทำการทดแทนเหล่านี้จะทำให้ง่ายขึ้น # intudu # - อินทิกรัลง่ายกว่าเมื่อก่อน

ในขณะที่เทคนิคทั้งสองนี้อาจแตกต่างกัน แต่ทั้งคู่มีจุดประสงค์เดียวกัน: เพื่อลดการอินทิกรัลเป็นรูปแบบที่ง่ายขึ้นเพื่อให้เราสามารถใช้เทคนิคพื้นฐาน ฉันแน่ใจว่าคำอธิบายของฉันไม่เพียงพอที่จะรวมรายละเอียดเฉพาะทั้งหมดเกี่ยวกับการทดแทนเหล่านี้ดังนั้นฉันจึงเชิญผู้อื่นให้มีส่วนร่วม