สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้าน A, B และ C โดยด้าน B และ C มีความยาวเท่ากัน ถ้าด้าน A ไปจาก (1, 4) ถึง (5, 1) และพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 15, พิกัดที่เป็นไปได้ของมุมที่สามของสามเหลี่ยมคืออะไร?

ตอบ:

จุดยอดสองจุดเป็นฐานของความยาว 5 ดังนั้นความสูงต้องเท่ากับ 6 เพื่อให้ได้พื้นที่ 15 เท้าเป็นจุดกึ่งกลางของจุดและหกหน่วยในทิศทางตั้งฉาก # (33/5, 73/10)# หรือ #(- 3/5, - 23/10) #.

คำอธิบาย:

เคล็ดลับสำหรับมืออาชีพ: พยายามติดกับตัวอักษรขนาดเล็กสำหรับด้านสามเหลี่ยมและเมืองหลวงสำหรับจุดยอดสามเหลี่ยม

เราได้สองจุดและพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จุดสองจุดทำให้ฐาน # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5 #

เท้า # F # ของระดับความสูงคือจุดกึ่งกลางของสองจุด

#F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

ทิศทางเวกเตอร์จากระหว่างจุดคือ #(1-5, 4-1)=(-4,3)# มีขนาด 5 เท่าคำนวณได้ เราได้เวกเตอร์บอกทิศทางของฉากตั้งฉากโดยการสลับจุดและลบหนึ่งในนั้น: #(3,4)# ซึ่งจะต้องมีขนาดห้า

ตั้งแต่พื้นที่ # A = frac 1 2 b h = 15 # เราได้รับ # H = (2 * 15) /b=6.#

ดังนั้นเราต้องย้าย #6# หน่วยจาก # F # ในทิศทางตั้งฉากทั้งสองเพื่อให้ได้จุดสุดยอดที่สามซึ่งเราได้เรียก # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) หรือ C = (- 3/5, - 23/10) #

ตรวจสอบ: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

พื้นที่ที่ถูกเซ็นชื่อนั้นเป็นครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์ข้าม

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

นั่นคือจุดจบ แต่ขอสรุปคำตอบทั่วไป เรามาลืมมันไปเลยว่ามันเป็นหน้าจั่ว หากเรามี C (x, y) พื้นที่จะได้รับจากสูตรเชือกผูกรองเท้า:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

บริเวณนั้นคือ #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4 ปี #

# 49 = 3x + 4y # หรือ # -11 = 3x + 4y #

ดังนั้นถ้าจุดยอด C อยู่บนเส้นขนานทั้งสองนี้เราจะได้พื้นที่สามเหลี่ยม 15

ปล่อย # ประชาสัมพันธ์ = A # เป็นด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีพิกัดของจุดสิ้นสุดดังนี้

#Pto (1,4) # และ #Rto (5,1) #

ให้พิกัดของจุดที่สามของรูปสามเหลี่ยมเป็น # (x, y) #.

เช่น # (x, y) # มีความยาวเท่ากันจาก P และ R ที่เราสามารถเขียนได้

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + Y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + Y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6Y = 9 #

# => x = (9 + 6Y) / 8 …… 1 #

อีกครั้ง # (x, y) # เป็นระยะเท่ากันจาก P และ R, ตั้งฉากลดลงจาก # (x, y) # ไปยัง # PR # จะต้องแบ่งออกเป็นสองส่วนให้ตั้งฉากหรือตั้งจุดกึ่งกลางของ # PR # เป็น # T #

ดังนั้นพิกัดของ #Tto (3,2.5) #

ตอนนี้ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

และฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

# ประชาสัมพันธ์ = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

ดังนั้นโดยปัญหาของพื้นที่

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

โดย 2 และ 1 เราได้รับ

# ((9 + 6Y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100Y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => การ y = 2.5pm4.8 #

ดังนั้น # y = 7.3 และ y = -2.3 #

เมื่อ # การ y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

เมื่อ # การ y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

พิกัดของจุดที่สามจะเป็น

# (6.6,7.3) ถึง "Q in figure" #

หรือ

# (- 0.6, -2.3) ถึง "S in figure" #