แสดงว่าสมการ x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 มีทางออกเดียวใน [0, 1]?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นมาคำนวณกันก่อน # f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # ที่ขอบเขตของโดเมนของเรา:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

ถ้าเราคำนวณอนุพันธ์

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

เราจะเห็นว่ามันเป็นบวกเสมอ #0,1#. ในความเป็นจริง, # x ^ 2 + 1 # เป็นบวกเสมอและ # 4x # เห็นได้ชัดว่าเป็นบวกตั้งแต่ # x # เป็นบวก

ดังนั้นฟังก์ชั่นของเราเริ่มต้นด้านล่าง # x # แกนตั้งแต่ # f (0) <0 #และสิ้นสุดเหนือ # x # แกนตั้งแต่ # f (1)> 0 #. ฟังก์ชั่นนั้นเป็นพหุนามและเป็นแบบต่อเนื่อง

หากเส้นต่อเนื่องเริ่มต้นที่ด้านล่างของแกนและสิ้นสุดที่ด้านบนนั่นหมายความว่ามันจะต้องข้ามมันไปที่ไหนสักแห่งระหว่างนั้น และความจริงที่ว่าอนุพันธ์นั้นมีค่าเป็นบวกเสมอหมายความว่าฟังก์ชันนั้นมีการเติบโตอยู่เสมอดังนั้นมันจึงไม่สามารถข้ามแกนได้สองครั้งดังนั้นจึงเป็นการพิสูจน์