คิวบ์รูทของ (sqrt3 -i) คืออะไร

ฉันจะเริ่มต้นด้วยการแปลงตัวเลขเป็นรูปแบบตรีโกณมิติ:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

คิวบ์รูทของหมายเลขนี้สามารถเขียนเป็น:

# Z ^ (1/3) #

ตอนนี้สิ่งนี้อยู่ในใจฉันใช้สูตรสำหรับกำลังที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนในรูปตรีโกณมิติ:

# Z ^ n = R ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # ให้:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

ซึ่งในรูปสี่เหลี่ยมคือ: # 4.2-0.7i #

ฉันไม่เห็นด้วยอย่างยิ่งกับคำตอบของGióเพราะมันไม่สมบูรณ์และผิด (เป็นทางการ)

ข้อผิดพลาดอย่างเป็นทางการอยู่ในการใช้งานของ สูตรของ De Moivre ด้วยเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม สูตรของ De Moivre สามารถใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มเท่านั้น รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหน้าของ Wikipedia

คุณจะพบส่วนขยายของสูตรบางส่วนเพื่อจัดการกับ # n #-th root (เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์พิเศษ # k #): ถ้า # z = r (cos theta + i sin theta) #จากนั้น

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n)) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # ที่ไหน # k = 0, …, n-1 #.

หนึ่ง (และในบางแง่) คุณสมบัติขั้นพื้นฐานมากของจำนวนเชิงซ้อนคือ # n #- รากมี … # n # root (โซลูชัน)! พารามิเตอร์ # k # (ที่แตกต่างกันระหว่าง #0# และ # n-1 #ดังนั้น # n # ค่า) ช่วยให้เราสามารถสรุปได้ในสูตรเดียว

คิวบ์รูทมีวิธีแก้ปัญหาสามข้อและการค้นหาเพียงหนึ่งวิธีนั้นไม่เพียงพอ: มันเป็นเพียง#1/3# ของการแก้ปัญหา"

ฉันจะเขียนข้อเสนอการแก้ปัญหาด้านล่าง ความคิดเห็นยินดีต้อนรับ!

ตามที่Gióแนะนำอย่างถูกต้องขั้นตอนแรกคือการแสดง # Z = sqrt {3} # -i ในรูปตรีโกณมิติ #r (cos theta + i sin theta) #. เมื่อจัดการกับรูทรูปแบบตรีโกณมิติคือ (เกือบ) เสมอเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ (พร้อมกับเอ็กซ์โพเนนเชียลหนึ่ง) คุณได้รับ:

# r = sqrt {x ^ 2 + Y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

ดังนั้น # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

ตอนนี้คุณต้องการคำนวณราก จากสูตรที่รายงานข้างต้นเราจะได้รับ:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3)) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

ที่ไหน # k = 0, 1, 2 #. ดังนั้นจึงมีค่าต่างกันสามค่าคือ # k # (#0#, #1# และ #2#) ที่ให้กำเนิดรากที่ซับซ้อนที่แตกต่างกันสามแห่ง # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3)) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # และ # z_2 # เป็นโซลูชั่นที่สาม

การตีความทางเรขาคณิตของสูตรสำหรับ # n # รากมีประโยชน์มากในการวาดคำตอบในระนาบเชิงซ้อน พล็อตยังชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนถึงคุณสมบัติของสูตร

ก่อนอื่นเราสามารถสังเกตได้ว่าวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนั้นมีระยะห่างเท่ากัน # R ^ {1 / n} # (ในตัวอย่างของเรา #2^{1/3}#) จากแหล่งกำเนิด ดังนั้นพวกเขาจึงอยู่ในรัศมีวงรอบ # R ^ {1 / n} #. ตอนนี้เราต้องชี้ให้เห็น ที่ไหน เพื่อวางพวกเขาในรอบนี้ เราสามารถเขียนอาร์กิวเมนต์ของไซน์และโคไซน์อีกครั้งด้วยวิธีต่อไปนี้:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k)) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

รูท "แรก" สอดคล้องกับ # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

ส่วนอื่น ๆ สามารถหาได้จากสิ่งนี้โดยการเพิ่มมุม # (2pi) / n # ซ้ำกับมุม # theta / n # สัมพันธ์กับรูทแรก # z_0 #. ดังนั้นเรากำลังเคลื่อนไหว # z_0 # บนเส้นรอบวงโดยการหมุนของ # (2pi) / n # เรเดียน (# (360 °) / n #) ดังนั้นคะแนนจะอยู่ที่จุดยอดปกติ # n #-gon เมื่อพิจารณาจากหนึ่งในนั้นเราสามารถหาคนอื่นได้

ในกรณีของเรา:

มุมสีฟ้าอยู่ตรงไหน # theta / n = -pi / 18 # และสีม่วงแดงหนึ่งคือ # (2pi) / n = 2/3 pi #.