คุณพิสูจน์ได้อย่างไร (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

ตอบ:

ใช้ข้อมูลเฉพาะตัวของตรีโกณมิติและทำให้ง่ายขึ้น ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ฉันเชื่อว่ามีข้อผิดพลาดในคำถาม แต่ก็ไม่ใช่เรื่องใหญ่ เพื่อให้สมเหตุผลควรอ่านคำถาม:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

เราเริ่มด้วยนิพจน์นี้:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(เมื่อทำการพิสูจน์ตัวตนของตรีโกณมิติเป็นการดีที่สุดที่จะทำงานกับด้านที่มีเศษส่วน)

ลองใช้กลเม็ดเด็ด ๆ ที่เรียกว่า conjugate multiplication โดยเราคูณเศษส่วนด้วยตัวส่วน ผัน:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

คอนจูเกตของ # A + B # คือ # A-B #ดังนั้นคอนจูเกตของ # 1 + sinx # คือ # 1 sinx #; เราคูณด้วย # (1-sinx) / (1-sinx) # เพื่อความสมดุลเศษส่วน

สังเกตได้ว่า # (1 + sinx) (1-sinx) # ที่จริงแล้วมันคือความแตกต่างของกำลังสองซึ่งมีคุณสมบัติ:

# (a-b) (A + B) = a ^ 2-B ^ 2 #

ที่นี่เราเห็นว่า # A = 1 # และ # B = sinx #ดังนั้น:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-บาป ^ 2x #

จากอัตลักษณ์ของพีทาโกรัส # บาป ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #มันจะเป็นไปตามนั้น (หลังจากลบ # บาป ^ 2x # จากทั้งสองด้าน) # cos ^ 2x = 1-บาป ^ 2x #.

ว้าวเราไปจาก # (1-sinx) / (1-sinx) # ไปยัง # 1 บาป ^ 2x # ไปยัง # cos ^ 2x #! ตอนนี้ปัญหาของเราดูเหมือนว่า:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

มาขยายตัวเศษ:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

(อย่าลืมว่า: # (a-ข) ^ 2 = a ^ 2-2ab + B ^ 2 #)

ตอนนี้เราจะแยกเศษส่วน:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = วินาที ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = วินาที ^ 2x-2tanxsecx + น้ำตาล ^ 2x #

วิธีลดความซับซ้อน ที่ ? จำได้เมื่อฉันพูดว่า "จำได้: # (a-ข) ^ 2 = a ^ 2-2ab + B ^ 2 #'?

ปรากฎว่า # วินาที ^ 2x-2tanxsecx + น้ำตาล ^ 2x # เป็นจริง # (secx-Tanx) ^ 2 #. ถ้าเราปล่อยให้ # A = secx # และ # B = Tanx #เราจะเห็นได้ว่านิพจน์นี้คือ:

#underbrace ((ก) ^ 2) _secx-2 (ก) (ข) + underbrace ((ข) ^ 2) _tanx #

ซึ่งอย่างที่ฉันเพิ่งพูดไปนั้นเทียบเท่ากับ # (a-ข) ^ 2 #. แทนที่ # A # กับ # secx # และ # B # กับ # Tanx # และคุณจะได้รับ:

# วินาที ^ 2x-2tanxsecx + น้ำตาล ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

และเราได้ทำ prood สำเร็จแล้ว:

# (secx-Tanx) ^ 2 = (secx-Tanx) ^ 2 #