พิสูจน์ต่อไปนี้หรือไม่

ตอบ:

ตรวจสอบด้านล่าง

คำอธิบาย:

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2-1) DX> 0 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> int_1 ^ 2 (1) DX # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> 2-1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> 1 #

เราต้องพิสูจน์ว่า

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> 1 #

พิจารณาฟังก์ชั่น # f (x) = E ^ x-LNX #, # x> 0 #

จากกราฟของ # C_f # เราสามารถสังเกตเห็นได้ว่าสำหรับ # x> 0 #

เรามี # อี ^ x-LNX> 2 #

คำอธิบาย:

# f (x) = E ^ x-LNX #, # x ##ใน##1/2,1#

# f '(x) = x ^ E-1 / x #

# f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

# f '(1) = E-1> 0 #

ตามทฤษฎีบทโบลซาโน่ (ค่ากลาง) เรามี # f '(x_0) = 0 # #<=># # อี ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# อี ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # x_0 = -lnx_0 #

ระยะทางแนวตั้งอยู่ระหว่าง # อี ^ x # และ # LNX # เป็นขั้นต่ำเมื่อ # f (x_0) = E ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

เราต้องแสดงให้เห็นว่า # f (x)> 2 #, # AAX ##>0#

# f (x)> 2 # #<=># # x_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# x_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (x_0-1) ^ 2> 0 # #-># จริงสำหรับ # x> 0 #

กราฟ {e ^ x-lnx -6.96, 7.09, -1.6, 5.42}

# (จ ^ x-LNX) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) DX # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> ##-1+2# #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2) DX> 1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((E ^ x-LNX) / x ^ 2-1) DX> 0 #