อะไรคือ maxima ท้องถิ่นและ minima ของ f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

ตอบ:

# f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

ฟังก์ชั่นนี้มีเส้นกำกับแนวดิ่งที่ # x = 2 #แนวทาง #1# จากด้านบนเมื่อ x ไปที่ # + oo # (เส้นกำกับแนวนอน) และวิธีการ #1# จากด้านล่างเป็น x ไปที่ # -oo #. อนุพันธ์ทั้งหมดไม่ได้กำหนดไว้ที่ # x = 2 # เช่นกัน มีหนึ่งท้องถิ่นน้อยที่สุดที่ # x = 0 #, # การ y = 0 # (ปัญหาทั้งหมดนี้สำหรับแหล่งกำเนิด!)

หมายเหตุคุณอาจต้องการตรวจสอบคณิตศาสตร์ของฉันแม้แต่สิ่งที่ดีที่สุดของเราก็ทิ้งเครื่องหมายลบคี่และนี่เป็นคำถามที่ยาว

คำอธิบาย:

# f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

ฟังก์ชั่นนี้มีเส้นกำกับแนวดิ่งที่ # x = 2 #เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ # x = 2 #.

มันเข้าใกล้ #1# จากด้านบนเมื่อ x ไปที่ # + oo # (เส้นกำกับแนวนอน) และวิธีการ #1# จากด้านล่างเป็น x ไปที่ # -oo #เพราะสำหรับค่าขนาดใหญ่ # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # กับ # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # สำหรับ # x> 0 # และ # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # สำหรับ # x <0 #.

เพื่อหาค่าสูงสุด / นาทีเราต้องการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # ใช้กฎความฉลาด!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

การใช้กฎสำหรับอำนาจและกฎลูกโซ่ที่เราได้รับ:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

ตอนนี้เราเรียบร้อยขึ้นเล็กน้อย …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

ตอนนี้อนุพันธ์อันดับสองทำเหมือนอย่างแรก

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

มันน่าเกลียด แต่เราแค่เสียบแล้วสังเกตว่ามันมีพฤติกรรมไม่ดี

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # ฟังก์ชั่นนี้ไม่ได้กำหนดที่ # x = 2 #เส้นกำกับนั้น แต่ก็ดูดีทุกที่อื่น

เราต้องการที่จะรู้ว่าสูงสุด / นาทีคือ …

เราตั้ง # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # นี่เป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และหากตัวส่วนไม่ใช่

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # หรือ # 4x (2-x) = 0 # นี่เป็นศูนย์ที่ # x = 0 # และ # x = 2 #แต่เราไม่สามารถมีค่าสูงสุด / นาทีได้ว่าอนุพันธ์ / ฟังก์ชั่นไม่ได้กำหนดดังนั้นความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ # x = 0 #.

"การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง"

ตอนนี้เราดูอนุพันธ์อันดับสองน่าเกลียดเหมือนเดิม …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

เช่นเดียวกับฟังก์ชั่นและอนุพันธ์อันดับแรกสิ่งนี้ไม่ได้ถูกกำหนดที่ # x = 2 #แต่ดูดีทุกที่อื่น

เราเสียบ # x = 0 # เข้าไป # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #ไม่ใช่เลขน่ารักที่จะเสียบใช่ไหม

#=128/256# ทั้งหมดนั้นเพื่อ #1/2#

#1/2 >0# ดังนั้น # x = 0 # เป็น minima ท้องถิ่น

ในการค้นหาค่า y เราจำเป็นต้องเสียบเข้ากับฟังก์ชั่น

# f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # ต้นกำเนิด!