แก้สมการต่อไปนี้เป็นจำนวนธรรมชาติ: x² + y² = 1997 (x-y)?

ตอบ:

# (x, y) = (170, 145) # หรือ # (x, y) = (1817, 145) #

คำอธิบาย:

หลักฐานต่อไปนี้มีพื้นฐานมาจากหนังสือใน "การแนะนำให้รู้จักกับสมการไดโอแฟนไทน์: วิธีการตามปัญหา" โดย Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu

ได้รับ:

# x ^ 2 + Y ^ 2 = 1,997 (x-y) #

ปล่อย #a = (x + y) # และ #b = (1997-x + y) #

แล้ว:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + Y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + Y ^ 2-2 (1997 (XY) + XY) #

# = x ^ 2 + 2xy + Y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + Y ^ 2-2 (x ^ 2 + Y ^ 2 + XY) #

#=1997^2#

ดังนั้นเราจึงพบ:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

ตั้งแต่ #1997# เป็นนายก # A # และ # B # ไม่มีปัจจัยทั่วไปที่ยิ่งใหญ่กว่า #1#.

ดังนั้นจึงมีจำนวนเต็มบวกอยู่ #m, n # กับ #m> n # และไม่มีปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่กว่า #1# ดังนั้น:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} สี (สีขาว) (XX) "หรือ" สี (สีขาว) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

มองไปที่ # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # ใน mod #3# และ mod #5# เลขคณิตเราพบ:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (สมัย #3#) ดังนั้น #m - = + -1 # และ #n - = + -1 # (สมัย #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (สมัย #5#) ดังนั้น #m - = + -1 # และ #n - = + -1 # (สมัย #5#)

นั่นหมายถึงความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวสำหรับ #m, n # โมดูโล #15# เป็น #1, 4, 11, 14#.

นอกจากนี้โปรดทราบว่า:

# m ^ 2 ใน (1997/2, 1997) #

ดังนั้น:

#m ใน (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

ดังนั้นความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวสำหรับ # ม # เป็น #34, 41, 44#

เราพบ:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ

#1997 - 44^2 = 61# ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ

ดังนั้น # (m, n) = (34, 29) #

ดังนั้น:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

หรือ

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#COLOR (สีขาว) () #

ถ้า # (a, b) = (1972, 315) # แล้ว:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

และด้วยเหตุนี้:

# (x, y) = (1817, 145) #

#COLOR (สีขาว) () #

ถ้า # (a, b) = (315, 1972) # แล้ว:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

และด้วยเหตุนี้:

# (x, y) = (170, 145) #