การขยายตัวของเทย์เลอร์ของ e ^ (- 2x) อยู่ตรงกลางที่ x = 0 คืออะไร

ตอบ:

#E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ OO (-2) ^ n / (n) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

คำอธิบาย:

กรณีของชุดเทย์เลอร์ขยายไปรอบ ๆ #0# เรียกว่าชุด Maclaurin สูตรทั่วไปสำหรับซีรี่ส์ Maclaurin คือ:

# f (x) = sum_ (n = 0) ^ ^ OOF n (0) / (n) x ^ n #

ในการหาอนุกรมสำหรับฟังก์ชันของเราเราสามารถเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันสำหรับ # อี ^ x # แล้วใช้มันเพื่อหาสูตร #E ^ (- 2x) #.

ในการสร้างซีรี่ส์ Maclaurin เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของ # อี ^ x #. ถ้าเราใช้อนุพันธ์สองสามอย่างเราสามารถเห็นรูปแบบได้อย่างรวดเร็ว:

# f (x) = x ^ E #

# f '(x) = x ^ E #

# f '' (x) = x ^ E #

ในความเป็นจริงอนุพันธ์อันดับ n ของ # อี ^ x # เป็นเพียง # อี ^ x #. เราสามารถเสียบมันเข้ากับสูตร Maclaurin:

# อี ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n) = 1 + x / (1) + x ^ 2 / (2) + x ^ 3 / (3) … #

ตอนนี้เรามีซีรี่ส์เทย์เลอร์สำหรับ # อี ^ x #เราสามารถแทนที่ทั้งหมดได้ # x #ด้วย # -2x # เพื่อรับซีรีส์สำหรับ #E ^ (- 2x) #:

#E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ OO (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ OO (-2) ^ n / (n) x ^ n = #

# = 1-2 / (1) x + 4 / (2) x ^ 2-8 / (3) x ^ 3 + 16 / (4) x ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

ซึ่งเป็นซีรีย์ที่เรากำลังมองหา