คุณจะหาร (i + 8) / (3i -1) ในรูปตรีโกณมิติได้อย่างไร

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

ก่อนอื่นเราต้องแปลงตัวเลขทั้งสองนี้เป็นรูปแบบตรีโกณมิติ

ถ้า # (A + IB) # เป็นจำนวนเชิงซ้อน #ยู# คือขนาดและ อัลฟา # # เป็นมุมของมันแล้ว # (A + IB) # ในรูปตรีโกณมิติเขียนเป็น #u (cosalpha + isinalpha) #.

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน # (A + IB) # ได้รับจาก#sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) # และมุมของมันถูกกำหนดโดย # สีน้ำตาล ^ -1 (/ b) #

ปล่อย # R # เป็นขนาดของ # (8 + i) # และ # theta # เป็นมุมของมัน

ขนาดของ # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 r = #

มุมมองของ # (8 + i) = ตาล ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

ปล่อย # s # เป็นขนาดของ # (- 1 + 3i) # และ # # พี เป็นมุมของมัน

ขนาดของ # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

มุมมองของ # (- 1 + 3i) = ตาล ^ -1 (3 / -1) = ตาล ^ -1 (-3) = พี #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

ตอนนี้

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (R (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = R / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = R / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi ฉัน ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi ฉัน ^ ^ 2sin 2phi) #

# = R / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = R / s * (cos (ทีพี) + isin (ทีพี)) / (1) #

# = R / s (cos (ทีพี) + isin (ทีพี)) #

ที่นี่เรามีทุกสิ่งที่นำเสนอ แต่ถ้าที่นี่แทนที่ค่าโดยตรงคำจะยุ่งสำหรับการค้นหา #theta -phi # ดังนั้นก่อนอื่นเรามาหา # ทีพี #.

# ทีพี = สีน้ำตาล ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

เรารู้ว่า:

# สีน้ำตาล ^ -1 (ก) -tan ^ -1 (ข) = สีน้ำตาล ^ -1 ((AB) / (1 + AB)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 ((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3))) #

# = สีน้ำตาล ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = สีน้ำตาล ^ -1 (25/5) = สีน้ำตาล ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# R / s (cos (ทีพี) + isin (ทีพี)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (สีน้ำตาล ^ -1 (5)) + isin (สีน้ำตาล ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (สีน้ำตาล ^ -1 (5)) + isin (สีน้ำตาล ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (สีน้ำตาล ^ -1 (5)) + isin (สีน้ำตาล ^ -1 (5))) #

นี่คือคำตอบสุดท้ายของคุณ

คุณสามารถทำได้ด้วยวิธีอื่น

โดยการหารตัวเลขที่ซับซ้อนแล้วเปลี่ยนเป็นรูปแบบตรีโกณมิติซึ่งง่ายกว่านี้มาก

ก่อนอื่นให้ลดจำนวนที่กำหนดให้ง่ายขึ้น

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

ทวีคูณและหารด้วยคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในตัวหาร i.e # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i ฉัน -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5I) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5I) / 2 #

ปล่อย # เสื้อ # เป็นขนาดของ # (1 / 10- (5I) / 2) # และ # # เบต้า เป็นมุมของมัน

ขนาดของ # (- 1 / 2- (5I) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = T #

มุมมองของ # (- 1 / 2- (5I) / 2) = ตาล ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = สีน้ำตาล ^ -1 (5) = เบต้า #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.